高中数学_2.2_等差数列_第2课时课件_新人教A版必修5.ppt [自动保存的]

•第2课时等差数列的性质探究：已知等差数列{}中，公差为d，则与(n,m∈N*)有何关系？解：由等差数列的通项公式知①－②nanama，dmaam)1(1，dnaan)1(1①②，dmnaamn)(（这是等差数列通项公式的推广形式）.)(dmnaamn等差数列性质：dmnaamn)(另解：daa)1219(1219.mnaadnmmn时，当512512aad5121031.33)1219(31.52daa)51(51.23410㈠推广后的通项公式(n-m)ddaamnmnaamn练习在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+q；(3)若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72•等差数列的性质•若数列{an}.{bn}是公差分别为d1和d2的等差数列，则有下列性质：(2)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为的等差数列．(3)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是．公差为(1)an=bn+(n-m)d1(4)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列．md等差数列λd1Ad1+Bd2a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…(4)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即.am＋an＝ap＋qq(5)若(m+n)/2=k,(m,n,k∈N*)则am＋an＝2ak•1．已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9，则a5＝()•A．－4B．4•C．－8D．8•解析：a5＝(a3＋a7)＝－4.•答案：A•2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是•()•A．64B．31•C．30D．15•解析：a8＝(a7＋a9)＝8，a12+a4＝2a8.•a12＝2a8－a4＝15.•答案：D•3．在数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________.•解析：由已知得a3＋a10＝3，又a5＋a8＝a3＋a10，∴a5＋a8＝3.•答案：3•4．若48，a，b，c，－12是等差数列中的连续五项，则a、b、c的值依次为__________．•解析：由等差数列的性质知2b＝48＋(－12)，∴b＝18，同理2a＝48＋b＝66•∴a＝33，同理2c＝b＋(－12)＝6，∴c＝3，故a，b，c的值依次为33,18,3.•答案：33,18,3•5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；•解：由m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，得•a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.•∵a2＋a3＋a23＋a24＝48，•∴4a13＝48，∴a13＝12.•[例3]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[解]解法1：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40.解得a＝2，b＝5，c＝8，d＝11，或a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.解法2：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，a1＋da1＋2d＝40，化简，得4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得a1＝2，d＝3，或a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.解法3：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.•[点评](1)对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．本题解法3就是运用“对称设项法”，是三个解法中最简捷的．•(2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量法”，即设出a1、d，运用通项公式表示所需的项，它也能起到化多为少的作用．•迁移变式3(1)有三个数成等差数列，它们的和为9，积为－21，求这三个数．•(2)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．解：(1)设这三个数依次为x－d，x，x＋d.则x－d＋x＋x＋d＝9，x－d·x·x＋d＝－21，∴x＝3，d＝±4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.(2)设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝859，∴5a＝5，5a2＋10d2＝859.∴a＝1，d＝±23.•[例1]已知等差数列{an}，•(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；•(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.•[分析]等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量．本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组)．进而求出a1和d，当然可使问题获解．但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题，可以收到事半功倍的效果．•[解](1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，•∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.•解得a14＝12.(2)∵a2＋a5＝a3＋a4，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34.解得a2＋a5＝17.又已知a2a5＝52，联立解得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.当a2＝4，a5＝13时，d＝a5－a25－2＝3；当a2＝13，a5＝4时，d＝a5－a25－2＝－3.∴公差d为3或－3.•[点评]本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．•迁移变式1(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；•(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．•解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，•∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.•∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.•(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.•[例2]若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．•[分析]方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列，则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．[解]解法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.∴a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.•解法2：∵{an}为等差数列，•∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．•设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．•∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.•∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.•[点评]等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列，解法2正是应用等差数列这一性质解题的．•迁移变式2已知数列{an}为等差数列．•(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；•(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．解：(1)∵在等差数列{an}中，a15，a30，a45，a60成等差数列，∴a30＝a15＋a452＝10＋902＝50，∴a60＝2a45－a30＝2×90－50＝130.(2)a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50－66×2＝－82.d＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；d＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.•[例4]已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1；当x为偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.•(1)求证：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差数列．•(2)求f(n)的解析表达式．•[解](1)∵x为奇数时，x＋1为偶数，•∴由已知条件，可得•f(x＋1)－f(x)＝1，①•f(x＋2)－f(x＋1)＝3，②•①＋②，得f(x＋2)－f(x)＝4.•又f(x)定义在N*上，•∴f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差数列．(2)∵f(2)－f(1)＝1，f(1)＋f(2)＝5，∴f(1)＝2，f(2)＝3.又f(n＋2)－f(n)＝4，∴f(n)＝2nn为奇数，2n－1n为偶数.•迁移变式4已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.•若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.•解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，•∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2.•又∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2－d)＋(a4－d)＋…＋(a10－d)＝2－5d＝－8，•∴a1＋a2＋…＋a10＝2＋(－8)＝－6.•∴log2[f(a1)f(a2)·…·f(a10)]＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝a1＋a2＋…＋a10＝－6.•答案：－61．如何理解等差中项若b＝a＋c2，则称b为a、c的等差中项，它与三数a、b、c成等差数列可以相互推出．若a、b、c成等差数列，那么b＝a＋c2，2b＝a＋c，b－a＝c－b，a－b＝b－c都是等价的．用递推公式an＋1＝12(an＋an＋2)给出的数列也是等差数列，an＋1称为an、an＋2的等差中项．2．等差数列常用的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则有：(1)d＝an－a1n－1＝am－akm－k(m、n、k∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n2＝k，则am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)．(4)若{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝….(5)数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列．•3．等差数列的常见设法•(1)若三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d；•(2)若五个数成等差数列，可设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d；•(3)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.