期权的回报及价格分析

第十章期权的回报与价格分析14704班张婧月李祎吾丽帆看涨期权多头的回报与盈亏分布2看涨期权空头的回报与盈亏分布3看跌期权多头的回报与盈亏分布4看跌期权空头的回报与盈亏分布5欧式期权回报公式表10-1欧式期权多空到期时的回报与盈亏头寸到期回报公式到期盈亏公式公式分析看涨期权多头max(,0)TSX若到期价格TS高于X，多头执行期权获得差价；否则放弃期权回报为零。max(,0)TSXc看涨期权空头max(,0)TSX或min(,0)TXS若到期价格TS高于X，多头执行期权，空头损失差价；否则多头放弃期权，空头回报为零。max(,0)TSXc或min(,0)TXSc看跌期权多头max(,0)TXS若到期价格TS低于X，多头执行期权获得差价；否则放弃期权回报为零。max(,0)TXSp看跌期权空头max(,0)TXS或min(,0)TSX若到期价格TS低于X，多头执行期权，空头损失差价；否则多头放弃期权，空头回报为零。max(,0)TXSp或min(,0)TSXp6内在价值与时间价值期权价格（价值）＝内在价值＋时间价值期权的内在价值，是0与多方行使期权时所获收益贴现值的较大值。7期权的内在价值头寸期权回报内在价值看涨期权欧式无收益max(,0)TSXmax(,0)rTtSXe有收益max(,0)TSXmax(,0)rTtSDXe美式无收益max(,0)TSXmax(,0)rTtSXe有收益max(,0)SXmax(,0)rtSDXe看跌期权欧式无收益max(,0)TXSmax(,0)rTtXeS有收益max(,0)TXSmax(,0)rTtXeSD美式无收益max(,0)XSmax(,0)rtXeS有收益max(,0)XSmax(,0)rtXeSD注：无收益是指期权存续期内标的资产无现金收益，有收益指期权存续期内标的资产有已知的现金收益，下同。实值期权、平价期权与虚值期权实值期权、平价期权与虚值期权分类实值期权平价期权虚值期权欧式看涨期权rTtSDXerTtSDXerTtSDXe欧式看跌期权rTtSDXerTtSDXerTtSDXe美式看涨期权无收益rTtSXerTtSXerTtSXe有收益rtSXeDrtSXeDrtSXeD美式看跌期权rtSXeDrtSXeDrtSXeD注：如果标的资产在期权存续期内无收益，则D=0或0D。8期权的时间价值期权时间价值＝期权价格－期权内在价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。是基于期权多头权利义务不对称这一特性，在期权到期前，标的资产价格的变化可能给期权多头带来的收益的一种反映。时间价值的变动到期时间标的资产价格的波动率期权的时间价值受内在价值的影响，在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减9()rTtXeS图10.3无收益资产看涨期权时间价值与(()rTtSXe)的关系10期权价值的影响因素影响期权价格的主要因素变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产市场价格＋－＋－期权协议价格－＋－＋有效期??＋＋标的资产价格波动率＋＋＋＋无风险利率＋－＋－红利－＋－＋注：“＋”表示正向的影响，“－”表示反向的影响，？则表示影响方向不一定。11期权价格的上限看涨期权的上限美式看跌期权上限欧式看跌期权上限12cSDCS和PX()rTtpDXe期权价格的下限期权下限：内在价值无收益资产欧式看涨期权下限13组合A：一份欧式看涨期权加上金额为)(tTrXe的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的价值为：),max(XST而在T时刻，组合B的价值为ST。由于TTSXS),max(，因此()rTtcXeS()rTtcSXe由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：]0,max[)(tTrXeSc有收益资产欧式看涨期权下限只要将上述组合A的现金改为其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：14()rTtDXe()max[,0]rTtcSDXe欧式看跌期权下限（1）无收益资产看跌期权下限：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为)(tTrXe的现金在T时刻组合C的价值为),max(XST，而组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：SXepXeSptTrtTr)()(由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：]0,max[)(SXeptTr（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合D的现金改为()rTtXeD就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：()max[,0]rTtpXeDS15期权价格上下限上限下限看涨期权欧式cSD无收益()max(,0)rTtcSXe有收益()max(,0)rttcSDXe美式CS无收益()max(,0)rTtCSXe有收益max(,0)rtCSDXe看跌期权欧式rTtpDXe无收益()max(,0)rTtpXeS有收益()max(,0)rttpXeSD美式PX无收益max(,0)rtXSPe有收益max(,0)rtPXeSD16提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性提前执行无收益资产美式看涨期权的合理性提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。17组合A：一份美式看涨期权加上金额为)(tTrXe的现金组合B：一单位标的资产不提前执行：在T时刻，组合A的价值为),max(XST，而组合B的价值为ST，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。提前执行：若在时刻提前执行，组合A的价值为：)(TrXeXS，而组合B的价值为S。由于0,rT因此XXetTr)(。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。提前执行是不理智的。无收益资产美式看涨期权价格的价格下限为()max(,0)rTtCSXe提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为)(tTrXe的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为),max(XST，组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为ˆ()rTXe，因此组合A的价值也高于组合B。比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于无收益资产的美式看跌期权可能提前执行，期权价格下限变为：max(,0)rtXSPe18提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的回报。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。由于在tn时刻美式期权的价值Cn满足因此如果提前执行是不明智的19()max[,0]nrTtnnnnCcSDXe()()[1]nnrTtnnnrTtnSDXeSXDXe如果则在tn提前执行有可能是合理的（仅是有可能并非必然要提前执行）。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时提前执行美式看涨期权才是合理的。类似地，对于任意，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是相应地期权下限变为20()[1]nrTtnDXe1()[1]iirttiDXemax(,0)rtCSDXe提前执行有收益资产美式看跌期权的合理性由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此与无收益资产的美式看跌期权相比，有收益资产美式看跌期权提前执行的可能性变小，但仍无法完全排除提前执行的可能性。由于有收益资产的美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：21max(,0)rtPXeSD无收益资产欧式看涨期权价格曲线图22期权价格曲线的形状无收益资产欧式看跌期权价格曲线图23期权价格曲线的形状无收益资产欧式看跌期权与看涨期权之间的平价关系考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为现金组合B：一份有效期和协议价格与组合A中看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，两组合在时刻t的价值也必须相等，即：24()rTtXe()rTtcXepS有收益资产欧式看跌期权与看涨期权之间的平价关系平价关系的理解25()rTtcDXepS无收益资产美式看跌期权与看涨期权之间的平价关系组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份有效期和协议价格与组合A中看涨期权相同的美式看跌期权加上一单位标的资产无论美式期权是否提前执行，A都大于B，所以在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，两组合在时刻t的价值也必须相等，即：26cXPSCXPS由于有收益资产的美式期权27()()()rTtrTtrTtPcXeSCPSXeSXCPSXe()rTtSDXCPSDXeEnd28