函数的奇偶性

数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离.——华罗庚函数的单调性刻画了函数哪方面性质？我们是通过怎样的过程得到增（减）函数的概念和函数的最大（小）值的概念的?体现了哪些数学思想方法？函数的奇偶性f(x)=x2探究：观察函数f(x)=x2的图象x…-4-3-2-101234…f(x)=x2……探究：完成下列函数值对应值表1:16169941014f(-4)=f(4)f(-3)=f(3)f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(0)=f(0)比较表格中函数值y随自变量x变化情况，你能得出什么结论？当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等f(x)=x2探究：在函数定义域R内，改变自变量x的值，你得到的结论成立吗？对于函数定义域R内任意的x的值，你得到的结论成立吗？函数f(x)=x2在定义域R内的图象关于y轴对称，用函数解析式来描述就是：对于定义域R内任意一个自变量x的值，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).用函数解析式如何描述？探究：探究：观察函数f(x)=1-︱x︱的图象x…-4-3-2-101234………完成下列函数值对应值表2:-3-3-2-2-1010-1探究：f(-4)=f(4)f(-3)=f(3)f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(0)=f(0)比较表格中函数值y随自变量x的变化情况，你能得出什么结论？当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等f(x)=1-︱x︱探究：对于定义域R内任意一个自变量x的值，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)对于一般的函数y=f(x)的图象关于y轴对称，用函数解析式应当怎样刻画？函数y=f(x)在定义域内的图象关于y轴对称，用函数解析式来描述就是：对于定义域内任意一个自变量x的值，都有f(-x)=f(x).探究：练习1.观察函数f(x)=x2+1的图象.它的图象有什么特征？它是偶函数吗？你能用偶函数的定义解释你的判断吗？f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)练习2.函数是偶函数吗？为什么？它的图象具有什么特征？22()11fxx222()()11211()fxxxfx如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；反之，如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象关于y轴对称.偶函数的性质：探究：观察函数f(x)=x-1、f(x)=x3的图象探究：x…-4-3-2-101234…f(x)=x-1…\…表3:1-4141-31-2-111213观察函数f(x)=x-1、f(x)=x3的图象特征，完成表3、表4.x…-4-3-2-101234…f(x)=x3……表4:-6464-2727810-1-8f(-4)=f(4)f(-3)=f(3)f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(0)=f(0)f(-4)=f(4)f(-3)=f(3)f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)比较表格中函数值y随自变量x的变化情况，你能得出什么结论？当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数探究：f(x)=x3f(x)=x-1如何用数学语言描述“函数的图象关于原点对称”？函数y=f(x)在定义域R内的图象关于原点对称，用函数解析式来描述就是：对于定义域R内任意一个自变量x的值，都有f(-x)=-f(x).奇函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数.如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；反之，如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象关于y轴对称.偶函数的性质：奇函数的性质：如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；反之，如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图象关于原点对称.奇函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数.偶函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做偶函数.定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)如果对于函数y=f(x)的,那么函数y=f(x)就叫做偶函数.如果对于函数y=f(x)的，那么函数y=f(x)就叫做奇函数.定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)奇（偶）函数在x轴上表示函数的定义域的点的集合一定关于原点对称例5.判断下列函数的奇偶性：例5.判断下列函数的奇偶性：解：函数的定义域为55()()()fxxxfx()，因为对函数定义域内每一个x，都有所以，函数为奇函数.5()fxx例5.判断下列函数的奇偶性：解：函数的定义域为11()()()()fxxxfxxx0xx因为对函数定义域内每一个x，都有所以，函数为奇函数.1()fxxx例5.判断下列函数的奇偶性：解：函数的定义域为2211()()()fxfxxx0xx因为对函数定义域内每一个x，都有所以，函数为奇函数.21()fxx例5.判断下列函数的奇偶性：解：函数的定义域为0，因为函数在x轴上表示函数定义域的点的集合不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数.例5.判断下列函数的奇偶性：解：函数的定义域为0，因为函数在x轴上表示函数定义域的点的集合不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数.练习1.判断下列函数的奇偶性：思考：（1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性；（2）如图是函数f(x)=x3+x图象的一部分，你能根据函数f(x)=x3+x的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=f(x)∴f(x)是奇函数.练习2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将函数图象补充完整：（1）通过函数奇偶性概念的形成过程，你学习到了什么？（2）奇函数、偶函数的图象有什么特点？（3）怎样用奇函数、偶函数的定义证明某一个函数的奇偶性？