正弦定理在物理解题中的应用

正弦定理在物理解题中的应用随着教学改革的深入，近几年在高考中逐渐加强了对应用数学方法解决物理问题能力的考查，而应用正弦定理可以巧妙简捷地解决物理问题。【例1】如图所示，ao、bo两根轻绳上端分别固定在天花板上，下端结于o点，在o点施一个力使两绳在竖直平面内绷紧，两绳与天花板夹角如图所示，力f方向与ob夹角为α，当α等于105°时，绳ao拉力大小等于f。解析：本题若想到应用正弦定理，即则可以很轻松地得到α角等于∠aob=180°-30°-45°=105°。【例2】如图所示，mn是一条通过透明球体球心的直线。在真空中的单色细光束ab平行于mn射向球体，b为入射点，若出射光线cd与mn的交点p到球心o的距离是球半径的■倍，且与mn所成的角α=30°。求：透明体的折射率。解：如图所示，连接ob、oc、bc，在b点光线的入射角、折射角分别标为i、r。在△ocp中由正弦定理得：，解得∠ocp=135°（45°值舍），则可得：∠cop=15°。由折射率定义，在b点有：，在c点有：，又，则i=45°。又：，故r=30°。所以，透明体的折射率。点评：由正弦定理解得∠ocp=135°是本题的解题关键，只有知道∠ocp，才能根据其他几何关系求得i、r，进而求得透明体的折射率。【例3】在xoy平面内的一、四象限中，x轴上方有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为b，方向垂直纸面向外，x轴下方有范围足够大的匀强电场，场强为e，方向与y轴正方向相同。在xoy平面内有一点p，p点到o点的距离为l，直线op与x轴正方向的夹角为θ，如图所示。现有一个电量为q、质量为m的带正电粒子位于y轴负半轴上的某点，忽略粒子重力。若在y轴上n点将粒子由静止释放，粒子在第二次由磁场返回电场的过程中恰好通过p点，且sinθ=?蚓?虔，求n点到o点的距离。解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：；在三角形opc中，由正弦定理得：，解得。根据正弦定律得：，解得。由解得。粒子在匀强电场中运动由动能定理得：，解得：。点评：粒子在电场中加速进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，若求出带电粒子做圆周运动的半径，即可根据，得出粒子在电场加速结束以后的速度，则可根据动能定理求得释放点n与坐标原点o间的距离。由图可以看出两种情况下的三角形均不是特殊的三角形，pc=r，oc=3r，而且θ角已知，利用正弦定理解题是本题的一个关键。【例4】（2011年高考题25题）与水平面成45°角的平面mn将空间分成i和ii两个区域。质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从平面mn上的p0点水平向右射入i区。粒子在i区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为e；在ii区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为b，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从ii区离开时到出发点p0的距离。粒子的重力可以忽略。解：带电粒子在电场力的作用下沿抛物线运动，由牛顿第二定律得：…①经过时间t0粒子从mn上的p1进入磁场，由运动学公式和几何关系：…②粒子速度大小v1为：…③此时粒子到出发点p0的距离为：…④粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为：…⑤粒子从p2离开磁场，弧p1p2所对圆心角为2β，p1到点p2的距离为：…⑥类平抛物体的速度反向延长线过水平位移的中点则mk=kn；由勾股定理在中利用正弦定理；解得：则：…⑨点p2与点p0相距：，则。点评：你想到利用类平抛物体的特点结合正弦定理去求解β了吗？这是除了高考答案之外的又一种方法，巧妙地应用正弦定理直接求得β的正弦值。综上，我们可以看出正弦定理不仅可以巧妙地解决力学问题，还可以在光学、带电粒子的运动中应用解题。随着教学改革的进行，对应用数学处理物理问题的能力要求越来越高，以后的高考中不再是简单的计算能力的考查，会加强应用数学中的三角函数、正余弦定理等解决物理问题的考查。我们要在平时的学习中多注意积累总结。