矩阵的相似变换和特征值_几何与线性代数

返回主界面第五章矩阵的相似变换和特征值线性代数与空间解析几何电子教案网络版说明:由于PowerPoint软件版本差异,在您的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常.——课件作者：张小向§5.1方阵的特征值和特征向量§5.2相似矩阵§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量一.特征值,特征向量的定义和计算1.设A是n阶方阵,为数,为n维非零向量.若A=,则称为A的特征值,称为A的对应于的特征向量.2.由A=得齐次线性方程组(I–A)=,它有非零解系数行列式|I–A|=0,这个关于的一元n次方程,称为A的特征方程,|I–A|称为A的特征多项式.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量例1.求的特征值和特征向量.解:3113A),2)(4(3113||AI所以A的特征值为1=2,2=4.002121xxxx解之得).R0(1121kkxxA的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2I–A)x=即).R0(kkk第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量002121xxxx解之得).R0(1121kkxxA的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4I–A)x=即).R0(kkk例1.求的特征值和特征向量.解:3113A),2)(4(3113||AI所以A的特征值为1=2,2=4.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解:|I–A|=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2I–A)x=的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(I–A)x=的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.201034011A第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解:|I–A|=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–I–A)x=的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2I–A)x=的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.314020112A第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量例4.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例5.设为方阵A的特征值,证明()=22–3+4.为(A)=2A2–3A+4I的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2–3A+4I)x=2(A2)x–3Ax+4x=22x–3x+4x=(22–3+4)x=()x,所以f()为f(A)的特征值.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量二.特征值,特征向量的性质定理5.1.设1,…,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=[aij]的n个特征值,即|I–A|=(–1)(–2)…(–n).则i=trA=aiini=1ni=1i=detA=|A|ni=1第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量定理5.2.设是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,则f()是方阵f(A)的一个特征值.推论.若f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O(这时称f为A的一个零化多项式),则A的任一特征值必满足f()=0.注:A的零化多项式的根未必都是A的特征值.例如f(x)=x21,A1=1001,A2=1001,A3=0110.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵§5.2相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为A~B.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.易见,矩阵间的相似关系满足(1)反身性:A~A;(2)对称性:A~BB~A;(3)传递性:A~B,B~CA~C.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且A与B相似A与B相抵.但反之未必.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵命题:设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+A1p1AP+a0P1IP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0I=P1(anAn+…+a1A+a0I)P=anBn+…+a1B+a0I=f(B).第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵定理5.5.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特征多项式和特征值.事实上,设P–1AP=B,则|I–A|=|P–1|·|I–A|·|P|=|I–B|.注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,它们的特征多项式都是(1)2.但是若有P–1AP=B,则A=PBP–1=B.矛盾!第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明:(必要性)设P–1AP=diag[1,2,…,n],则AP=Pdiag[1,2,…,n],即P的列向量依次为p1,p2,…,pn.A[p1,p2,…,pn]=[1p1,2p2,…,npn],可见,p1,p2,…,pn就是A的n个线性无关的特征向量.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵于是P–1AP=diag[1,2,…,n],p1,p2,…,pn,对应的特征值依次为1,2,…,n,(充分性)设A的n个线性无关的特征向量依次为则A[p1,p2,…,pn]=[1p1,2p2,…,npn].记P=[p1,p2,…,pn],则上式可写成AP=Pdiag[1,2,…,n],二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵推论a.n阶复方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的特征向量,即秩(iIA)=nni.推论b.若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A与对角矩阵相似.三.方阵的相似对角化对于n阶方阵A,求可逆矩阵P,使P–1AP为对角矩阵这件事称为矩阵A的相似对角化.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵求|I–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有秩(iIA)=nni?否Jordan化A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=[p1,…,pn]P–1AP=diag[1,…,n]例123第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵例6.A=320010的特征多项式为001特征值=3,i中有两个是虚数,|I–A|=–3200101=(–3)(2+1),所以A不与实对角矩阵相似.在复数范围内,A~30000i0i0.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵(3I–A)x=的基础解系:p1=[5,3,1]T,(iI–A)x=的基础解系:p2=[0,i,1]T,(–iI–A)x=的基础解系:p3=[0,i,1]T,令P=5310i10i1,则P–1AP=30000i0i0.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化§5.3实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量1.复矩阵的共轭矩阵设A=[aij]mn,aijC.A的共轭矩阵.则称A=[aij]mn为可以验证(1)kA=kA;(2)AB=AB;(3)AT=;T)(A(4)AB=AB;(5)若A可逆,则A也可逆,且.)(11AA第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化2.实对称矩阵定理5.7.实对称矩阵的特征值均为实数.,xxAxxAxA.)()(TTTTTTxxxxxxAxAxAxx从而另一方面,.)()(TTTTxxxxAxxAxx两式相减得向量x满足Ax=x,则.0)(Txx又因为x非零,故.0||112Tniniiiixxxxx因此,0可见为实数.事实上,设复数为对称矩阵A的特征值,非零复第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化事实上,1p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,定理5.8.设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.于是(1–2)p1Tp2=0,但是12,故p1Tp2=0.从而1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化定理5.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n),其中1,2,…,n为A的全部特征值,Q=[q1,q2,…,qn]的列向量组是A的对应于1,2,…,n的标准正交特征向量.二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵推论.设是n阶实对称矩阵A的r重特征值,则对应于恰有r个线性无关的特征向量.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化例7.把正交相似对角化.310130004A解:|I–A|=(–2)(–4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2I–A)x=的基础解系1=(0,1,–1)T.(4I–A)x=的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即可得,2/102/12/102/1010Q.400040002T1AQQAQQ第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化注:对于2=3=4,若取(4I–A)x=的基础解系2=(1,1,1)T,3=(–1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,;1123211131111||||,2222332再单位化,即得.6/13/12/16/13/12/16/23/10),,(321qqqQ第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵的相似对角化例8.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为(–1)2(–10),且3=[1,2,2]T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.证明(1):由定理5.8可知()成立.()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.注意到1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.由3,=3,1=3,2=0得k3=0,第五章矩阵的相似变换和特征值§5.3实对称矩阵