恒成立能成立问题总结(详细)

......学习参考恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(nmxkbkxxf有：0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(nfmfxfnfmfnfkmfkxf恒成立或恒成立例1若不等式mmxx212对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：将不等式化为：0)12()1(2xxm，构造一次型函数：)12()1()(2xmxmg原命题等价于对满足22m的m，使0)(mg恒成立。......学习参考由函数图象是一条线段，知应0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22xxxxgg解得231271x，所以x的范围是)231,271(x。小结：解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以m为变量，x为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习:(1)若不等式01ax对2,1x恒成立，求实数a的取值范围。（2）对于40p的一切实数，不等式342pxpxx恒成立，求x的取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数)0(0)(2acbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a（3）当0a时，若],[0)(在xf上恒成立0)(2020)(2fababfab或或......学习参考若],[0)(在xf上恒成立0)(0)(ff（4）当0a时，若],[0)(在xf上恒成立0)(0)(ff若],[0)(在xf上恒成立0)(2020)(2fababfab或或例2若关于x的二次不等式：01)1(2axaax的解集为R，求a的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R，即对一切实数x原不等式都成立。只须00a0)1(4)1(02aaaa012302aaa3110aaa或31a.∴a的取值范围是31,说明：1、本题若无“二次．．不等式”的条件，还应考虑0a的情况，但对本题讲0a时式子不恒成立。2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。练习：1、已知函数862mmxmxy的定义域为R，求实数m的取值范围。（答案10m）......学习参考2、已知函数22)(2kxxxf在),1(时kxf)(恒成立，求实数k的取值范围。（答案13k）提示：构造一个新函数kxfxF)()(是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（三）、利用函数的最值-----分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一：“)(xfa”型一、（恒成立）（1）mxfDx)(,恒成立mxfmin)(；（2）mxfDx)(,恒成立max)(xfm；二、（能成立、有解）：（1）mxfDx)(,能成立内有解在Dxfm)(mxfmax)(；（2）mxfDx)(,能成立内有解在Dxfm)(min)(xfm；三、（恰成立）......学习参考（1）不等式Axf在区间D上恰成立不等式Axf的解集为D；（2）不等式Bxf在区间D上恰成立不等式Bxf的解集为D.四、（方程有解）方程()mfx在某个区间上有解，只需求出()fx在区间上的值域A使mA。例3：设124()lg,3xxafx其中aR，如果(.1)x时，()fx恒有意义，求a的取值范围。解：如果(.1)x时，()fx恒有意义0421xxa不等式对(,1)x恒成立212(22)4xxxxa，(.1)x恒成立。令2xt，2()()gttt，又(.1)x，则1(,)2t()agt对1(,)2t恒成立，又()gt在1[,)2t上为减函数，max13()()24tgg，34a例4：若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值范围。解：设aaxxxf2)(.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3)(xf在R上能成立3)(minxf,即344)(2minaaxf，解得26aa或例5不等式022kkx有解，求k的取值范围。解：不等式022kkx有解2)1(2xk能成立122xk能成立......学习参考2)12(max2xk，所以)2,(k。例6（2008年上海）已知函数f(x)＝2x－12|x|若不等式2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围解：本题可通过变量分离来解决．当[1,2]t时，22112(2)(2)022tttttm即24(21)(21)ttm，2210t∵，2(21)tm∴[1,2]t∵，2(21)[17,5]t∴故m的取值范围是[5,)例7（1990年全国）设fxnnanxxxxx()lg()1231，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n2，如果fx()当x(]，1时有意义，求a的取值范围．解：本题即为对于x(]，1，有1210xxxxnna()恒成立．这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得annnnnxxx[()()()]()1212，对于x(]，1恒成立．构造函数gxnnnnxxx()[()()()]121，则问题转化为求函数gx()在x(]，1上的值域，由于函数uxknknx()()()121，，，在x(]，1上是单调增函数，则gx()在(]，1上为单调增函数．于是有gx()的最大值为gn()()1121，......学习参考从而可得an121()．如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值．类型二：“)(xgxf”型恒成立。恒成立的图象的上方的图象恒在恒成立）（0)()()()()()()()()()(,1maxminxgxfxhDxxgxfxgxfxgxfDx例8已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围.解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.令，.∵x∈[0,1]，∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.......学习参考类型三：“)(21xgxf”型（恒成立和能成立交叉）：（1）)()(,,2121xgxfExDx成立)()(2min1xgxfminmin12min1)()()()(xgxfxgxf；例9已知两个函数xxxxgkxxxf452)(,168)(232，其中k为实数。（1）对任意3,3x，都有)()(xgxf成立，求k的取值范围；（2）存在3,3x，使)()(xgxf成立，求k的取值范围；（3）对任意3,3,21xx，都有)()(21xgxf，求k的取值范围。解析：（1）设kxxxxfxgxh1232)()()(23问题转化为3,3x时，0)(xh恒成立，故0)(minxh。令01266)(2'xxxh，得21xx或。由9)3(,45)3(,20)2(,7)1(khkhkhkh，故kxh45)(min由45045kk。（2）据题意：存在3,3x，使)()(xgxf成立0)()()(xfxgxh在3,3x有解，故0)(maxxh，由（1）知7)(maxkxh，于是得7k。（3）分析：它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意3,3,21xx，都有)()(21xgxf成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，21,xx的取值在3,3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：3,3,)()(minmaxxxgxf，......学习参考由04106)(2'xxxg，得321xx或，易得21)3()(mingxg，又kxxf8)1(8)(2，3,3x.故kfxf120)3()(max，令14121120kk。例10：（2010山东）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.解析：(Ⅰ)当0a时，函数()fx在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当12a时12xx，()0hx恒成立，此时()0fx，函数()fx在(0,)单调递减；当102a时，函数()fx在(0,1)单调递减，1(1,1)a单调递增，1(1,)a单调递减.（Ⅱ）当14a时，()fx在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x，有11()(1)-2fxf，又已知存在21,2x，使12()()fxgx，所以21()2gx，21,2x，（※）又22()()4,[1,2]gxxbbx当1b时，min()(1)520gxgb与（※）矛盾；当1,2b时，2min()(1)40gxgb也与（※）矛盾；当2b时，min117()(2)84,28gxgbb.综上，实数b的取值范围是17[,)8.......学习参考例11已知函数，若对任意x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)，求c的范围.解因为对任意的x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)成立，∴[f(x)]max＜[g(x)]min.∵f′(x)=x2-2x-3，令f′(x)＞0得x＞3或x＜-1；f′(x)＜0得-1＜x＜3.∴f(x)在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数.∵f(-1)=3，f(2)=-6，∴[f(x)]max=3.∴.∴c＜-24.类型四：“)()(21xfxfxf”型例1