第4章 线性方程组

•高斯消元法•向量空间*•线性方程组解的结构第四章线性方程组设线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若记,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxx则上述方程组可写成向量方程Ax=b.,21mbbbb当b=0时,称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组.若记()111212122212nnijmnmmmnaaaaaaAaaaa12nxxxx12mbbb系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵11121121222212()nnmmmnmaaabaaabAAaaab增广矩阵线性方程组与其增广矩阵相互唯一确定．§3.1矩阵的初等变换24412422321321321xxxxxxxxx用Gauss消元法求解下面方程组①②③方程组与增广矩阵是一一对应关系,我们用增广矩阵来写求解过程241412114212~A引例241412114212~A21rr241442121211首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里就不区分了)这个矩阵所对应的方程组与原方程组同解吗?逆变换是什么?以后每一步都思考同样的问题.122rr134rr24144212121124302230121142002230121123rr321r210022301211210060303011322rr312rr231r21002010301121002010301121rr210020101001得到同解方程组(就是解)221321xxxGauss消元法的思想?2.高斯消元法例1解线性方程组123123123346441270xxxxxxxxx123123123346441270xxxxxxxxx346411411270A方程组增广阵解12123123123413464270rrxxxxxxxxx12114134641270rr21313123232341718131rrrrxxxxxxx213131141071810131rrrr23231232323411141310131071817181rrrrxxxxxxx323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx123452xxx得100401050012观察知:高斯消元法求解线性方程组与对线性方程组增广矩阵进行初等行变换一一对应！解线性方程组可以利用其增广阵进行初等行变换实现.行最简形矩阵323212377233411141310131003636rrrrxxxxxx行阶梯形矩阵定义：线性方程组的同解变换（1）交换线性方程组的任意两个线性方程式（2）线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k（3）线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去初等行变换3.线性方程组解的判定定理1线性方程组Ax=有解系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(A)=r(A|).若r(A)=r(A)=r=n时，则方程组有唯一解；若r(A)=r(A)=rn时，则方程组有无穷多解.综上所述，得到用消元法解方程组的步骤：(1)写出方程组的增广矩阵，(2)对施行初等行变换化为行阶梯形B；(3)判断是否有解？(4)若有解,继续对行阶梯形矩阵B施行初等行变换化成行最简形C，(5)由行最简形C直接写出原方程组的解.AA设有齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若记（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的结构.Ax0,aaaaaaaaaAmnmmnn212222111211nxxxx21则上述方程组（1）可写成向量方程.Ax01212111nnx,,x,x若为方程的0Ax解，则１．解向量的概念121111nx称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．一、齐次线性方程组解的结构1解的性质性质1（1）的两个解的和还是（1）的解.性质2（1）的一个解的倍数还是（1）的解.性质3（1）的解的任一线性组合还是（1）的解.111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1）齐次线性方程组(1)一组解向量，12,,,r若满足ii）(1)的任一解向量可由线性表出.12,,,ri）线性无关；12,,,r则称为(1)的一个基础解系．12,,,r2基础解系定义附：求基础解系的一般方法对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换，化A为行最简形．不妨设1,112,12,11000100010000000000rnrnrrrnccccAcc初等行变换第一步：写出方程组(1)的一般解：第二步：11,11122,112,11rrnnrrnnrrrrrnnxcxcxxcxcxxcxcx第三步：为自由未知量.11,,,rrnxxx现对取下列组数：nrx,,x1rnnrrxxx21.,100,010,001第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系rnrn.100,,010,001,,2,12,2,22,121,1,21,11cccccccccnrnnrnrrrrrrrr例3).()(ARAART证明证.,维列向量为矩阵为设nxnmA;0)(,0)(,0xAAAxAAxxTT即则有满足若.0,0)()(,0)(,0)(AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知即则满足若,0)(0同解与综上可知方程组xAAAxT).()(ARAART因此3基础解系的存在性定理在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中n是未知量的个数，nr().rrA例1求解齐次线性方程组.0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221二、齐次线性方程组的解法施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr0000342101221)3(223rrr212rr00003421035201,0342,0352432431xxxxxx,2AR由于故方程组有非零解，且有,,,342,3522413212211cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx例1求齐次线性方程组的基础解系．1234123412340253207730xxxxxxxxxxxx解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵111125327731A111107540141081111075400003277547710010000令得340,1,xx令得341,0,xx原方程组的解为13423423775477xxxxxx52177(,,1,0)原方程的基础解系为12,.34177(,,1,0)例2解线性方程组076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换00000000001311034111~26220262201311034111~00000000001311021201~,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.00000000001311021201~54325431322xxxxxxxx代入543xxx令,010,001.100,xx1221依次得.12,31所以原方程组的一个基础解系为,001121故原方程组的通解为.332211kkkx.k,k,k为任意常数其中321,010312.100123例.求解方程组.032030432143214321xxxxxxxxxxxx111111131123A210042001111111111110024001200000000111100120000000021001011与原方程组同解方程组为:4443224212xxxxxxxxx则24xx令1,00,112010011214321kkxxxxRkk21,为原方程组的解,且,11001201为