空间解析几何-第5章 正交变换与仿射变换

第5章正交变换和放射变换•§1变换•§2平面的正交变换•§3平面的仿射变换•§4二次曲线的度量分类与仿射分类•§5空间的正交变换与仿射变换§1映射与变换定义1.1设S与S’是两个集合,对S中任一元素a,按某一法则在S'中有唯一的元素a'与之对应,我们称此法则(即对应关系)为S到S'的一个映射。记作σ:S→S',aa'.或者记作:a’=σ(a),a∈S。a’称为a在映射σ下的象,a称为a'在σ下的一个原象。集合S到S'的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意a∈S,都有σ(a)=τ(a)。集合S到自身的一个映射叫做S的一个变换。例1设S是全体自然数集,S’=｛±n|n∈S｝,则σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一个映射。τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一个映射。例2设S是无数个点的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。则定义为的法则σ是S到S'上的一个映射。例3设=,法则定义为,∈,则是到自身的一个变换,此映射称为恒等变换。01aAaAaaaa'SSSIIS例4平面上的平移设S是平面上所有点的集合,取定一个直角坐标系,给定一个向量=()。令点P(x,y)与P’(x’,y’)的对应关系为则有(1.1)这是S到自身的一个变换,称为由决定的平移。公式(1.1)称为平面上的点的平移公式。注：在形式上平移公式与点的坐标变换中的移轴公式类似,但是含意却完全不同:点的平移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中,(x,y)和(x',y')是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。''yxbyaxoxyvvv'PPvba,P'P例5平面上的旋转S是平面上所有点的集合,在平面上取定一个直角坐标系｛O;｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应关系τ为(1.2)其中，θ是一确定的实数,则τ是S上的一个变换,称为平面绕原点的旋转,转角为θ。(1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。12,eeyxyxcossinsincos''xoyP'P例6平面上的反射。设l是平面上一条定直线,平面上任一点P关于l的对称点为P’。这种从P点到P’点的映射,称为平面上以l为轴的反射。若取l为x轴建立平面直角坐标系,设P(x,y),P'(x',y'),则此反射表示为(1.3)设σ:S→S’,我们用σ(S)表示S中的点在σ下的象的全体,显然有。当σ(S)=S'时,则称σ是满射或到上的。如果在映射σ下,S中不同元素的象也不同,则称σ是单射(或1—1的)。既是单射又是满射的映射称为双射(或1—1对应）。yxyx1001'''SSxyoPP定义1.2设映射:S→S’,:S’→S″,则定义乘积映射为对于S到S’的双射σ,我们可以定义它的逆映射：若σ(a)=a’∈S’,a∈S,则定义,显然,易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积也是1—1对应,映射的乘法满足结合律。定义1.3设σ:S→S是一变换,若对a∈S,满足σ(a)=a,则称a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。1221:,SS2121aaSa,1aa)(1.;;;''11'SSISSIss平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运动),它是平面到自身上的1—1变换。例7设σ是平面上由=(a,b)决定的平移,τ是平面上的转角为θ的绕原点的旋转,τσ:P(x,y)P″(x″,y″)P'(x',y'),则τσ的公式为：，则στ的公式为：由此可见στ≠τσ。vbyaxyxyxcossinsincoscossinsincos''cossinsincoscossinsincosbabayx''':,,,PxyPxyPxy''1001xxabyy10cossin01sincosxaybcossinsincosxayb平面上点变成点的变换也叫点变换。一个线性点变换当它的变换矩阵的行列式|A|≠0时,称为满秩线性点变换或非退化线性点变换。往后将看到,正交变换和仿射变换在代数上均表现为非退化的线性变换。定义1.4设G=｛σ:S→S|σ是S上的变换｝,如果G满足：(1)恒等变换I∈G;(2)若则(3)若σ∈G,则它的逆变换。则称G为S的一个变换群。,22122111''bayxaaaayx22122111aaaaA,,21GG;21G.1G§2平面的正交变换1.平面的正交变换在§1中我们介绍了平面上的三种点变换:平移、旋转和反射。它们有一个共同的特点:保持点之间的距离不变。定义2.1平面上的一个点变换,如果保持点之间的距离不变,则称它是正交(点)变换(或等距变换)。平面上的运动与反射都是正交变换。从定义立即得到性质1和性质2。性质1恒等变换是正交变换。性质2正交变换的乘积是正交变换。性质3正交变换是双射。证明设σ是正交变换,把不同的两点P,Q分别变为P’和Q’。由于P,Q不相同,所以,根据σ保持距离不变,应有,因此，P',Q'也是不同的两点,即σ为单射。下证σ是满射。即对平面上任何一点P’,都存在P，使σ(P)=P’。为此,在平面上任取不共线的三点(i=1,2,3),设σ()=(i=1,2,3)。由σ是单射并保持距离不变,易知构成一个三角形,且⊿≌⊿假定P’到的距离为,那么必存在一点P,它到的距离也是。设σ(P)=P″,则P″到的距离也是,因此P″与P’重合,即σ(P)=P'。由性质3知道,正交变换的逆变换存在,且逆变换也是正交变换。因此,由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成平面上的一个变换群,称为正交变换群。0PQ0||''PQQPiPiP'iP'iP321PPP'3'2'1PPP'iPidiPid'iPid性质4正交变换把直线变到直线,并保持共线三点P,Q,R的简单比不变。其中PR，RQ表示有向线段的有向长度(或代数长),即若在直线PQ上取一单位向量e,则证明设P,Q是直线上不同的两点,那么它们的象P’,Q’也不相同,于是决定一条直线l’。对于直线l上任一点R,若P,Q,R按此顺序共线,则|PQ|+|QR|=|PR|.由正交变换的定义,R的象R'与P',Q'有关系|P'Q'|+|Q'R'|=|P'R'|.因此R’与P’，Q’共线,即R’在l’上.由以上两式看出,正交变换保持直线上点的顺序不变,将有向线段变成有向线段。即若同向或反向时,则也同向或反向。由此得RQPRRQP,,RQPR,,.PRPReRQRQeRQPR,'''',QRRP''''''',,,,RQPQRRPRQPRRQP性质5正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直线的交角不变。请读者自证.在平面上，对任一向量,以点O为原点，作。设正交变换σ把O，A分别变到O’,令，则向量只依赖于而与O点的选取无关，原因是σ保持平行性和保持距离不变。这一事实说明，σ诱导出平面上向量的一个变换，使变到,这个变换仍记为σ，称为正交向量变换。设与是任意两个向量,。显然即σ保持向量的内积不变。根据σ保持共线三点的简单比,我们可从推出.又若,并且,由于σ把一个三角形变成一个与之全等的三角形,又可得到。简短地说,正交变换保持向量的线性关系不变。于是有aOAa,'A'''aOA'aaa'aab'',aabb'',ababab''ab'cccab'''cabcab性质6正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关系不变。2.正交变换的坐标表示和基本定理取平面直角坐标系,设正交变换σ将点P(x,y)变换到P'(x',y'),则下面来求x',y'与x,y之间的关系。根据性质6可知σ把直角坐标系变到直角坐标系,并且,即P’在直角坐标系下的坐标与P在直角坐标系下的坐标一致。12;,Oee12OPxeye'''12,OPxeye12;,Oee'''12;,Oee''''12OPxeye'''12;,Oee12;,Oee设因为是直角坐标系,所以过渡矩阵是正交矩阵。于是得出正交变换的坐标表示(2.2)其中,A=()是正交矩阵。''11112122121222,.eaeaeeaeae'12,OOaebe'''12;,Oee22122111aaaaA''''''1212121112121212221112121222''12,OPOOOPaebexeyeaebexaeaeyaeaeaxayaeaxaybexeye,,2221'1211'byaxayayaxaxija用矩阵形式表示，则（2．2）可写成设由性质6得我们容易得到之间的关系（2．4）考虑正交矩阵A的条件：.22122111''bayxaaaayx'''1212,,.aaaueveaueve'''''12.aueve.22122111''vuaaaavuvuvu,,''与.0,1,122211211222212221211aaaaaaaa我们可设将他们代入条件中的第三式得因此,即,cos,sin,sin,cos22122111aaaasincossinsincos0,cos,sin,2212aak,cossinsincoscossinsincosAA或即(2．3)可写成(2.5)或(2.6)(2.5)表示平面上的运动,(2.6)表示平面上的反射的乘积.由此得到,cossinsincos''bayxyx.cossinsincos''bayxyxbayxyxyxyx''''cossinsincos1001与运动定理2.1(正交变换第一基本定理)正交变换或者是运动,或者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为第一类正交变换,后者称为第二类正交变换。定理2.2(正交变换第二基本定理)正交变换把直角坐标系变到新的直角坐标系,并使每一点P在原系下的坐标与它的象P’关于新系下的坐标相同。反之,具有这种性质的变换是正交变换。§3平面的仿射变换比正交变换较为广泛的一种点变换就是本节将要讨论的仿射变换。在这里为了简单起见,不同于前节用几何特征来定义正交变换,我们直接用变换公式给出仿射变换的定义，并用这公式研究仿射变换的一些性质。1.仿射变换的定义和例子定义3.1平面的一个点变换τ，如果它在一个仿射坐标系中的公式为(3.1)其中系数矩阵A=是可逆的,即|A|≠0，则称τ是平面的仿射(点)变换。此定义与仿射坐标系的选取无关。,22122111''bayxaaaayxija例3.1§2中用公式(2.5),(2.6)确定的正交变换是仿射变换。例3.2伸长或压缩(简称伸缩)是仿射