圆的综合运用

1圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：①利用垂径定理；②直接作垂线构造直角三角形；α③构造所对的圆周角；④连接圆心和切点；Oα(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：半径相等12O圆周角=圆周角O12圆心角=2圆周角12O弦切角=圆周角O21射影定理模型O12综合利用各种方法OαOOα22、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；O3r-2r26r6-r2O(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：△ADE∽△ACBEDCBA△ADE∽△BCEEDCBA△ABD∽△CAD∽△CBACODAB△ABC∽△ADB∽△BDCBODAC△ABO∽△ADB∽△BDODOCBA△ABC∽△OBDODCBA二、典型例题3能力提升类例1如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若228PEPF，求直径AB。评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。例2如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QPQO，求QCQA的值。评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。综合运用类例3如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与三角形的AB边和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。例4已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN4分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F。求证：EF∥AB思维拓展类例5在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径。评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的关键。例6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中5点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切。评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，对于这些重点知识，同学们应熟练掌握。总结：一、思想方法总结数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形的问题来解决。分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨论等问题均应用了这一思想。方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其他量，求一个量，运用了方程的思想。二、与圆有关的辅助线的添加规律：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作用。巩固训练6（答题时间：60分钟）一、选择题1.如图所示，AB、AC与圆O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°AOBC2.如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA＝3，过点A且长小于8的弦有（）A.0条B.1条C.2条D.4条OA3.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线2xy与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能4.给出下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.45.如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点O，则图中阴影部分的面积是（）A.81B.41C.21D.二、填空题71.如图所示，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝12cm，AP：PB＝2：3，则圆O的直径是________cm。OPBADC2.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝________，AD＝________。CDBAE3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，32BC，以A为圆心，以AC为半径作弧交AB于D，则图中阴影部分的面积是________。ACDB4.如图所示，同底等高的圆锥和圆柱，它们的底面直径和高相等（即2R=h），那么圆锥和圆柱的侧面积之比为。5.如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点A所经过的路线长是cm。三、解答题1.已知：⊙O与⊙O'外离，⊙O的半径为4cm，⊙O'的半径为6cm，OO'＝20cm，求两圆的公切线的长。82.已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，过点P的直线AB分别与⊙O1、⊙O2相交于点A、B，BD切⊙O1于点B，交⊙O2于点C、D，AE是⊙O2的直径。求证：（1）AE⊥BD；（2）△APD∽△CPB；（3）AD2＋BC·BD＝AB2。PO2O1EDCBA9一、选择题1.C解析：若点P在劣弧BC上，连结OB、OC则∠BOC＝180°－50°＝130°∴劣弧BC的度数为130°，优弧BC的度数为230°∴∠BPC的度数为11523021当点P在优弧BC上时，∠BPC21×130°＝65°故选C.2.A解析：作圆O过A点的直径BC，则BC＝10cm作DE⊥BC于A，连结OD则8DE435DA22，而DE是过点A最短的弦，它不可能小于8，∴选A.BOCAED3.C点拨：画出直线，得到直线与x轴、y轴的交点坐标分别为)0,2(、).2,0(则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以圆心到直线的距离是1，即圆心到直线的距离等于圆的半径，故直线与圆相切，所以选C.4.B点拨：一个圆有无数个内接三角形，也有无数个外切三角形，所以②④错误。5.C点拨：由题意知，题中四个半圆组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白部分面积，所以所求阴影部分面积等于半圆B的面积，即S阴影=211212，故选C.二、填空题1.65解析：设AP＝x2，PB＝x3∵AB⊥CD，∴PC＝PD＝6又PA·PB＝PC·PD36x3x26x26x（舍负）65AB63x362x2，102.5，518解析：作CF⊥AB于F，∵∠ACB＝90°∴可证ABAFAC2又543AB22518592AD59ABACAF2ADBCEF3.3232解析：由勾股定理得AB=4，∴∠B=30°，∠A＝60°3232221322360602ABCCADSS扇形∴阴影面积32324.5：4点拨：圆柱的侧面积为24R，圆锥的侧面积为25R.5.1628点拨：第一次滚动，点A经过的路线长是以C为圆心、CA为半径、圆心角为90°的扇形弧长；第二次滚动，点A经过的路线长是以D为圆心、边长DA为半径、圆心角为90°的扇形弧长；第三次滚动，点A不动；第四次滚动，点A经过的路线长是以B为圆心、BA为半径、圆心角为90°的扇形弧长。第二周滚动与第一周相同。所以正方形滚动两周时，点A经过路线长是).(16282)4424(cm三、解答题1.解：（1）如图，连结O'A、OB，过点O作OE⊥AO'于点E∵AB与⊙O'、⊙O分别相切于点A、B∴AO'⊥AB，BO⊥AB∴四边形ABOE是矩形，∴AB＝OE，AE＝BO∵AO'＝6，BO＝4，∴O'E＝2∵OO'＝20，∴由勾股定理可得OE611∴AB＝61111（2）如图，连结O'C、OD，过点O'作O'E⊥OD的延长线于点E∵CD与⊙O'、⊙O分别相切于点C、D∴O'C⊥CD，OD⊥CD∴四边形CO'ED是矩形，∴CD＝O'E，O'C＝DE∵O'C＝6，OD＝4，∴在Rt△OEO'中，OE＝10，OO'＝20由勾股定理得OE'103，∴310CD∴外公切线长AB＝611cm，内公切线长CD＝103cm2.证明：（1）连结AC，过点P作两圆的公切线交BD于T，则∠1＝∠2，∠4＝∠5.∵BD切⊙O1于B，∴∠3＝∠B.∵∠DCA＝∠1＋∠B，∠CPB＝∠2＋∠3，∴∠DCA＝∠CPB.∵四边形APCD内接于⊙O2，∴∠ADC＝∠CPB.∴∠DCA＝∠ADC.∴ACAD.∵AE为直径，∴AE⊥BD.（2）∵∠3＝∠4＝∠B，∴∠B＝∠5.∵∠PAD＝∠PCB，∴△APD∽△CPB.（3）∵BCD、BPA为⊙O2的两条割线，∴BC·BD＝BP·BA.∵∠B＝∠5，∠PAD＝∠BAD，∴△ADP∽△ABD.∴ADABAPAD.12∴AD2＝AP·AB.∴AD2＋BC·BD＝AP·AB＋BP·BA＝AB（AP＋BP）＝AB2.即AD2＋BC·BD＝AB2.