随机过程 3.6-3.5

目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程，有，，，，若对任意正整数实随机过程TttnTtXtn1,:一、严平稳过程3.6平稳随机过程n11n11,,;,,,,;,,ttxxFttxxFnn.)(:强平稳过程称为严平稳过程则TtXtn11n11,,;,,,,;,,ttxxfttxxfnn1）定义2）说明.,,,,11n10同分布与nttttXXXX时，当1n20.,,,,,0n21XXXXRtXtttt同分布于均，.,,,,,021XXXXNtXnn同分布于均，时，当2n30.,,2211同分布与ttttXXXX.,,0同分布与XXXXtt3.6平稳随机过程3）性质.,10概率密度与时间无关为严平稳过程，则一维TtXtxfxftxftxft0,,,111111令dxxxfXEt222dxxfxXEt22dxxfxXVart.和方差为常数即随机过程的均值、矩3.6平稳随机过程.20关隔有关，与起点时刻无二维概率密度与时间间122121212121,0,,,,,,;,1ttxxfttxxfttxxft令212121,0;,,dxdxxxfxxXXEtttt2,rEXEXXXEEXXEXXEttCttttttttXrXC3.6平稳随机过程时，即当021ttt220tXEr2200rC.,的函数都只是协方差函数数即随机过程的自相关函3.6平稳随机过程1）定义，有满足，若实随机过程TtTtXt:.)(:弱平稳过程称为宽平稳过程则TtXttXE)1(rXXEtttt,)2(2)3(tXE二、宽平稳过程3.6平稳随机过程2）与严平稳过程的区别.)(10二维数字特征而宽平稳过程只涉及一；函数都有平稳性密度高，对任意有限维分布严平稳过程对分布要求.20矩有限严平稳过程不一定二阶.30严平稳过程但宽平稳过程不一定是宽平稳过程二阶矩过程严平稳过程..40宽平稳过程高斯过程：严平稳过程特列3.6平稳随机过程三、宽平稳过程自相关函数的性质自相关函数，则有为平稳过程设TtXrt:0010r0022tXEr.-20rrr是偶函数，即-rXXEXXErtttt.0,30rr02ttXXE3.6平稳随机过程0222ttttXXXXE0202rrrr0..40TTXXXTttt周期函数，周期也是且其自相关函数必为为过程的周期其中，，则成为周期平稳过程满足若rXXEXXETrttTtt.50分量含有一个同周期的周期自相关函数也含有一个周期分量，则若tX3.6平稳随机过程0,,,,,,611110jininjjinnaattRaaTtt，有实数和任意的个非负定性：对任意有限jininjttjininjjiaaXXEaattji1111,3.6平稳随机过程njtjnitijiXaXaE11021nitiiXaE.070处连续在上连续的充要条件为在rRr2rr显然2ttttXXEXXE0002rrr2tttXXXE22tttXXEXErr0lim0lim0rr3.6平稳随机过程四、宽平稳过程的相关系数1）定义2,rEXXEXXEttCttttX.022的自相关系数称为随机过程tXXXrCC2）性质.1010.1,20.)(30线性相关程度关系的随机变量之间的线性的任意两个时刻为物理意义：过程在相距3.6平稳随机过程五、几个特殊的过程1）独立增量过程.,,,,,1231211程为独立增量过程是相互独立的，则称过随机变量的增量若，，设随机过程nnttttttnntXXXXXXttTttX注：任意不相交时间间隔上的增量都是相互独立的。3.6平稳随机过程2）平稳增量过程.)(.,,2211齐次性或称过程具有时齐性程则称过程为平稳增量过的分布一样与有关，即无关，仅与的分布与，若，设随机过程tttttttXXXXtXXTttX注：任意相等时间间隔上的增量都是同分布的。3.6平稳随机过程3）性质.10的部分和程，就是独立随机变量时间离散的独立增量过.20布随机变量的部分和量过程，就是独立同分时间离散的独立平稳增,,,0.,300ststXXeEtXtXitt，即其特征函数具有可乘性为平稳的则独立增量过程，若的特征函数为3.6平稳随机过程stXieEst,ttstXiXXieeEtstsXiXiXiXXieEeEeEeE0齐次,,stttstXXXieEttstXiXXieEeE独立3.6平稳随机过程stXieEst,ttstXiXXieeE,teEtstXXi,,stttstXXXieEttstXiXXieEeE独立ststXiXXieEseE,.0同分布与XXXXstst.过程是时齐的3.6平稳随机过程目录3.1随机过程的基本概念3.2随机过程的数字特征3.3离散时间和离散型随机过程3.4正态随机过程3.5Poisson过程3.6平稳随机过程一、计数过程1）定义.,0称为一个计数过程总数，则随机过程内发生随机事件的表示如果用随机变量ttNtN2）性质01t0N.2t0取非负整数值N0321210ttNNtt，有.,0421,2101221中发生的事件次数等于时间区间，ttNNNtttttt3.5Poisson过程3）说明.0022121,,210程有平稳增量有相同的分布，则称过，，增量和即，而与它的位置无关，依赖于时间区间的长度生的事件数的分布只若在任一时间区间中发ttttNNtt.1tt0有独立增量是独立的，则称生的事件次数在不相交时间区间中发若NN3.5Poisson过程二、Poisson过程1）定义I足是一个计数过程，且满设随机过程tN0(1)0N.(2)t是独立增量过程N分布，即的具有参数为，Poisson00(3),stNNNtsstts3.5Poisson过程.Poisson过程的齐次为具有参数则称tN.的平均个数发生事件的强度，即单位时间内为称tN2）数字特征tNVarNEtt01,1,0,kk!stekNNPkstst3.5Poisson过程222tttNE21221210,min,221ttttNNEtttt自相关函数121121,2121,:ttttttNNNENNEtttt不妨设证明2111,2ttttNNNE2111,2ttttNENENE独立增量1212121ttttt2121ttt3.5Poisson过程21210,min,,321ttNNCovttCttX协方差函数21,,:21ttXNNCovttC证明2121ttttNENENNE21221221,mintttttt21,mintt3.5Poisson过程特征函数400!kktiukiuNNkteeeEutt0!kkiutkteeiutetee1iuete3.5Poisson过程3）等价定义II足是一个计数过程，且满设随机过程tN0(1)0N.(2)t是平稳独立增量过程NhohNPhh10(3)，hoNPhh20(4)，.Poisson过程的齐次为具有参数则称tN.2.1.:的高阶无穷小次的概率是超过的概率近似为为在非常短的间隔内次数的次数是有限的在有限时间间隔内发生意义hh3.5Poisson过程11heNPhhhohh1hoh1012hhhNPNPNPhoheh1ho3.5Poisson过程的情形首先来看记0nnNNPtPnNPstsnt00htNPhtPtPhhotPhtPhtP00000,0thttNNNP00thttNNPNP独立增量hPtP00hohtP103.5Poisson过程tPtPh00,0左当tCetP0100P又！000teetPtttPhhotPhtPhtP00003.5Poisson过程的情形再来看1nnNPhtPhtnnkthttkNNknNP0,2,,1,10,,,,kkNknNPNnNPNnNPhttthttthttt平稳独立hohPtPhPtPnn110hohohtPhohtPnn113.5Poisson过程hhotPtPhtPhtPnnnn1tPtPtPhnnn1,0左当10,00,10PPnn满足初值条件又的显式法来推导出我们考虑特征函数的方tPn0kkiukiuNNtPeeEutt3.5Poisson过程01100kkkiukkiukNtPetPtPetut0110-kkkkiutPtPetP011010kkkiukkkiutPetPetPtPtPtPnnn100kkiukiukkiuktPeetPe0kkiukNtPeutuetNiu11iutetN