12.5双曲线的标准方程

上海市控江中学柳敏一、复习回顾思考并回答下列问题1、椭圆的定义是什么？2、椭圆定义中有哪些注意点？3、椭圆的标准方程是怎样的？二、讲授新课问题：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PFPFa或21||||2PFPFa,即:12||||||2PFPFa，其中0a动点的轨迹会发生什么变化呢？注意：①若21212FFaMFMF，则轨迹是线段21FF的延长线；若21122FFaMFMF，则轨迹是线段12FF的延长线；②若21212MFMFaFF，则无轨迹；③在1202||aFF条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线。演示双曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜∣F1F2∣）的点的轨迹是双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，用2c来表示在概念的理解中要注意：（1）平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21FF。（2）当12||||2PFPFa时，动点的轨迹是与2F对应的双曲线的一支，21||||2PFPFa时为双曲线的另一支。双曲线的标准方程的推导如图，取过点21FF、的直线为x轴，线段21FF的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则)0,(F)0,(21ccF、，即02221acFF，设M是所求轨迹上的点。依已知条件有aMFMF221，221)(ycxMF，222)(ycxMF，22)(ycxaycx2)(22，移项得：22)(ycx22)(2ycxa，平方得：222)()(ycxacxa（*）再平方得：)()(22222222caayaxca，即)()(22222222acayaxac，令)0(222bcacb则222222bayaxb，即12222byax反之：设M是12222byax上的点，则)1(2222axby，aacxacxxacaxbbccxxycxMF222222222222122)(222)(ycxMF=aacx，xaca,，∴当ax时，aacxMF1，aacxMF2，有aaacxaacxMFMF221；当ax时，aacxMF1，aacxMF2，有aaacxaacxMFMF221综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是12222byax①，其中)0(222acbac，焦点)0,(F)0,(21ccF、。同样如果双曲线的焦点在y轴上，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在y轴上双曲线的标准方程是12222bxay，其中)0(222acbac，焦点),0(F),0(21ccF、。定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)归纳例题例2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程。（1）焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；（2）已知双曲线过定点03,2mmm，且2ac；（3）已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点)24,3(1P，)5,49(2P在此双曲线上，例1：课本P55例1。例3：课本P56例2。例4：课本P56例3。课堂小结1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21FF。注意双曲线定义中“2120FFa”，“绝对值”的词汇的定性描述。2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上。3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同。名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数2a（2a21FF）的动点的轨迹叫椭圆。即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数2a（a2021FF）的动点的轨迹叫双曲线。即aMFMF221当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax0ba焦点在y轴上时：12222bxay0ba注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数cba,,的关系222bca（符合勾股定理的结构）0ca，a最大，可以bcbcbc,,222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,,课后作业1．练习册P29习题12.5A组1、2、32.练习册P29习题12.5A组4，B组1、2