第三讲第三节拟凸函数与拟凹函数

3.3拟凸函数与拟凹函数向量空间—拟凹函数和凹函数关系向量空间—拟凹函数和凹函数关系向量空间—拟凸函数和凸函数关系上等值集与下等值集•设函数f：SRnR,S为凸集，集合U(f,b){xS:f(x)b)称为函数f的一个上等值集。L(f,b){xS:f(x)b)称为函数f的一个下等值集向量空间—拟凹函数举例向量空间—拟凹函数举例且拟凹函数与拟凸函数•设函数f：SRnR,S为凸集，如果任意bR集合U(f,b)总为凸集，称函数f为拟凹函数。•如果任意bR，L(f,b)总为凸集，称函数f为拟凸函数。•如果任意bR集合U(f,b)总为严格凸集，称函数f为严格拟凹函数。•如果任意bR，L(f,b)总为凸集，称函数f为严格拟凸函数。拟凹函数与拟凸函数代数定义•设函数f：SRnR,S为凸集，如果任意u,vRn(0,1),f(v)f(u),有f(u＋(1-)v)f(u),f为拟凹函数f(v),f为拟凸函数拟凹函数与拟凸函数几何图示MNN2M2拟凸函数拟凹函数拟凹函数与拟凸函数•当无差异曲线凸向原点,效用函数是拟凹函数。为什么？•当等产量曲线凸向原点，生产函数是拟凹函数。为什么？证明•函数f为凹函数，对任意u,vRn(0,1),有f(u＋(1-)v)f(u)＋(1-)f(v)假设f(v)f(u),有f(u＋(1-)v)f(u),所以f为拟凹函数如果函数f(x)二次可导，nnnnnnnnfffffffffffffff21222212112111210B111110fffB22212121112120ffffffffB拟凸函数和拟凹函数判断法则•在非负象限，拟凹的必要条件是：•在非负象限，拟凹的充分条件是：拟凹和拟凸函数00,,0,021nBBB，n为奇数，n为偶数00,,0,021nBBB，n为奇数，n为偶数•在非负象限，拟凸的必要条件是：•在非负象限，拟凸的充分条件是：拟凹和拟凸函数0,,0,021nBBB0,,0,021nBBB•证明下面函数是拟凹函数：拟凹和拟凸函数练习)1,0;0,(,),(bayxyxyxfba•证明下面函数是拟凹函数：答案)1,0;0,(,),(bayxyxyxfba0,021BB