2014年高考高三理科选修4-5不等式选讲选修4-5-3

选修4－5－3几个重要不等式考纲点击1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明．(1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|；(2)(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；(3)x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32(通常称为平面三角不等式).2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：∑ni＝1a2i·∑ni＝1b2i≥(∑ni＝1aibi)23．会用向量递归方法讨论排序不等式．4．能利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值．说基础课前预习读教材考点梳理1.平均值不等式a1，a2，…an∈R＋a1＋a2＋…＋ann≥①________________≥11a1＋1a2＋…＋1an.2．贝努利不等式若x∈R，且x＞－1，x≠0，n＞1，n∈N，则(1＋x)n＞1＋②__________.3．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式①代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥③__________，当且仅当④__________时，等号成立．②向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤⑤__________，当且仅当⑥__________，或⑦__________时，等号成立．③三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22.(2)三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥⑧________________.当且仅当⑨____________或⑩______________________时，等号成立．(3)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋a23＋…＋a2n)(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥⑪__________________________，当且仅当⑫__________________或⑬__________________________时，等号成立．4．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)按相同顺序相乘所得积的和⑭__________________________为顺序和，和⑮__________________________为乱序和，按相反顺序相乘所得积的和⑯__________________________为反序和．5．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则⑰____________≤⑱______________≤⑲_____________，当且仅当⑳________时，反序和等于顺序和，此不等式简记为○21__________≤○22__________≤○23__________.答案：①na1a2…an②nx③(ac＋bd)2④ab＝bc⑤|α||β|⑥β是零向量⑦存在实数k，使α＝kβ⑧(a1b1＋a2b2＋a3b3)2⑨b1＝b2＝b3＝0⑩存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3⑪(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2⑫bi＝0(i＝1,2,3，…，n)⑬存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)⑭a1b1＋a2b2＋…＋anbn⑮a1c1＋a2c2＋…＋ancn⑯a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1⑰a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1⑱a1c1＋a2c2＋…＋ancn⑲a1b1＋a2b2＋…＋anbn⑳a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn○21反序和○22乱序和○23顺序和考点自测1.f(x)＝2x＋31－x的最大值为()A．5B.121313C.13D.522答案：C2．已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为__________．答案：323．已知x、y、z∈R，x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为__________．答案：34．已知实数m，n＞0.(1)求证：a2m＋b2n≥a＋b2m＋n；(2)求函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值．解析：(1)证明：因为m，n＞0，利用柯西不等式，得(m＋n)a2m＋b2n≥(a＋b)2，所以a2m＋b2n≥a＋b2m＋n.(2)由(1)，函数y＝2x＋91－2x＝222x＋321－2x≥2＋322x＋1－2x＝25，所以函数y＝2x＋91－2xx∈0，12的最小值为25，当且仅当x＝15时取得．说考点拓展延伸串知识疑点清源应用柯西不等式求最值和证明不等式时，关键是将所给关系通过“配”“凑”转化为柯西不等式的结构形式，同时注意变形的等价性和等号成立的条件.题型探究题型一平均值不等式的应用例1.已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求1a＋b＋1b＋c＋1a＋c的最小值．解析：∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·1a＋b＋1b＋c＋1c＋d≥33a＋b·b＋c·c＋a·331a＋b·1b＋c·1c＋a＝9，即2(a＋b＋c)·1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥9，又∵a＋b＋c＝1，∴1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，∴1a＋b＋1b＋c＋1a＋c的最小值为92.点评：利用基本不等式的一般形式：n个正数a1，a2，…，ana1＋a2＋…＋an≥nna1a2…an或na1a2…an≤a1＋a2＋…＋ann，并注意等号成立的条件．变式探究1设a，b，c为正实数，求证1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.证明：∵a，b，c为正实数，∴1a3＋1b3＋1c3≥331a3b3c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc，∴1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc≥23，∴原不等式成立.题型二利用柯西不等式求最值例2.若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．解析：方法一：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组：3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.方法二：令a＝(3,4)，b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y，|a|＝32＋42＝5，|b|＝x2＋y2.∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)，∴|3x＋4y|≤5x2＋y2，∴x2＋y2≥|3x＋4y|225＝425.其他同方法一．点评：使用柯西不等式的一般形式求最值的关键是结合已知条件构造两个适当的数组，变为柯西不等式的一般形式．变式探究2(2013·大连模拟)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，求2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值．解析：由柯西不等式得(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48，∴2a＋2b＋1＋2c＋3≤43.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3时，等号成立．即a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3有最大值43.题型三利用柯西不等式证明不等式例3.已知a，b，c，d均为正实数，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥15.解析：∵[(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)]·a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥1＋a·a1＋a＋1＋b·b1＋b＋1＋c·c1＋c＋1＋d·d1＋d2＝(a＋b＋c＋d)2＝1，又(1＋a)＋(1＋b)＋(1＋c)＋(1＋d)＝4＋(a＋b＋c＋d)＝5，∴5a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥1.∴a21＋a＋b21＋b＋c21＋c＋d21＋d≥15.点评：①柯西不等式的一般结构为(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．②使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小．变式探究3设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥1003.证明：左边＝13(12＋12＋12)a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥131×a＋1a＋1×b＋1b＋1×c＋1c2＝131＋1a＋1b＋1c2＝131＋a＋b＋c1a＋1b＋1c2≥13(1＋9)2＝1003.题型四排序不等式的应用例4.设a、b、c都是正数，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a.由排序原理，知ab×1c＋ac×1b＋bc×1a≥ab×1b＋ac×1a＋bc×1c，即abc＋acb＋bca≥a＋b＋c.点评：应用排序不等式解题，要先构造有序数组，从而构造顺序和、乱序和以及反序和，当已知数组位置对称，没有大小顺序时，可讨论指定一个次序，然后再利用排序不等式．变式探究4已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.证明：∵a≥b＞0，于是1a≤1b，又c＞0，从而1bc≥1ca，同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab，∴1b3c3≥1c3a3≥1a3b3，又a5≥b5≥c5，由于顺序和不小于乱序和，故可得a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3(∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3)≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c，所以原不等式成立.归纳总结•方法与技巧1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式．2．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．3．利用平均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”使其符合几个平均值不等式的特征．•失误与防范1．利用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式时，注意检验等号成立的条件．2．利用柯西不等式求最值的关键是放缩，放缩不当则等号可能不成立.新题速递1.(2013·宁夏模拟)已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为()A．3B．6C．9D．12答案：C2．(2013·广东模拟)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是__________．答案：1213．(2013·南平模拟)已知x，y，z为正实数，且1x＋1y＋1z＝1，求x＋4y＋9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．解析：由柯西不等式得x＋4y＋9z＝[(x)2＋(2y)2＋(3z)2]·1x2＋1y2＋