历年高考湖南理科数学试卷和答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合}1,0,1{M，}{2xxxN，则NMA．}0{B．}1,0{C．}1,1{D．}1,0,1{【答案】B【解析】0,1NM={-1,0,1}M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出0,1N,再利用交集定义得出M∩N.2．命题“若4，则1tan”的逆否命题是A．若4，则1tanB．若4，则1tanC．若1tan，则4D．若1tan，则4【答案】C【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠4”.【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是ABCD【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(iiyx),,2,1(ni，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆxy，则下列结论中不正确．．．的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心),(yxC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加85.0kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为79.58kg【答案】D【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybxabxybxaybx，所以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5．已知双曲线1:2222byaxC的焦距为10，点)1,2(P在C的渐近线上，则C的方程为A．152022yxB．120522yxC．1208022yxD．1802022yx【答案】A【解析】设双曲线C：22xa-22yb=1的半焦距为c，则210,5cc.又C的渐近线为byxa，点P（2,1）在C的渐近线上，12ba，即2ab.又222cab，25,5ab，C的方程为220x-25y=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6．函数)6cos(sin)(xxxf的值域为A．]2,2[B．]3,3[C．]1,1[D．]23,23[【答案】B【解析】f（x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx，sin()1,16x，()fx值域为[-3,3].【点评】利用三角恒等变换把()fx化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x，求得()fx的值域.7．在ABC中，2AB，3AC，1BCAB，则BCA．3B．7C．22D．23【答案】A【解析】由下图知ABBC=cos()2(cos)1ABBCBBCB.1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBABBC，解得3BC.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,ABBC的夹角为B的外角.8．已知两条直线myl:1和)0(128:2mmyl，1l与函数xy2log的图像从左至右相交于点BA,，2l与函数xy2log的图像从左至右相交于点DC,．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为ba,．当m变化时，ba的最小值为A．162B．82C．348D．344【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像如下图，由2logx=m，得122,2mmxx，2logx=821m，得821821342,2mmxx.依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba821821222mmmm.8141114312122222mmmm，min()82ba.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像，结合图像可ABCx821ym2logyxym1OABCD解得.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．在直角坐标系xOy中，已知曲线tytxC21,1:1（t为参数）与曲线cos3,sin:2yaxC（为参数，0a）有一个公共点在x轴上，则a．【答案】32【解析】曲线1C：1,12xtyt直角坐标方程为32yx，与x轴交点为3(,0)2；曲线2C：sin,3cosxay直角坐标方程为22219xya，其与x轴交点为(,0),(,0)aa，由0a，曲线1C与曲线2C有一个公共点在X轴上，知32a.【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C与曲线2C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得.10．不等式01212xx的解集为．【答案】14xx【解析】令()2121fxxx，则由()fx13,()2141,(1)23,(1)xxxx得()fx0的解集为14xx.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11．如图2，过点P的直线与⊙O相交于BA,两点．若1PA，2AB，3PO，则⊙O的半径等于．【答案】14xx【解析】令()2121fxxx，则由()fx13,()2141,(1)23,(1)xxxx得()fx0的解集为14xx.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(iz（i为虚数单位)，则z．【答案】10【解析】2(3)zi=29686iii，228610z.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)abiabR形式，利用22zab求得.13．6)12(xx的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】-160【解析】(2x-1x)6的展开式项公式是6631661C(2)()C2(1)rrrrrrrrTxxx.由题意知30,3rr，所以二项展开式中的常数项为33346C2(1)160T.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.ABPOCD14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1nx，则输出的数S．【答案】4【解析】输入1x,n=3,，执行过程如下：2:6233iS；1:3(1)115iS；0:5(1)014iS，所以输出的是4.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15．函数)sin()(xxf的导函数)(xfy的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，CA,为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若6，点P的坐标为)233,0(，则；（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为．【答案】（1）3；（2）4【解析】（1）()yfxcos()x，当6，点P的坐标为（0，332）时33cos,362；（2）由图知222TAC，122ABCSAC，设,AB的横坐标分别为,ab.设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaSfxdxfxab，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABCSPS.【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16．设*2(,)nNnNn2，将N个数12,,,Nxxx依次放入编号为1,2,,N的N个位置，得到排列012NPxxx．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列113124NNPxxxxxx，将此操作称为C变换．将1P分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到2P；当22in时，将iP分成2i段，每段2iN个数，并对每段作C变换，得到1iP．例如，当8N时，215372648Pxxxxxxxx，此时7x位于2P中的第4个位置．（1）当16N时，7x位于2P中的第个位置；（2）当2()nNn8时，173x位于4P中的第个位置．【答案】（1）6；（2）43211n【解析】（1）当N=16时,012345616Pxxxxxxx,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616Pxxxxxxxxx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616Pxxxxxxxxxxx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16),x7位于P2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第43211n个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,xy的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,yxy所以15,20.xy该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),(1.5),(2),10020100101004pXpXpX201101(