10高等数学课件(完整版)详细

一、问题的提出1.计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即n10310003100310331.2二、级数的概念1.级数的定义:nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项部分和数列niinnuuuus121级数的部分和,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus2.级数的收敛与发散:当n无限增大时,如果级数1nnu的部分和数列ns有极限s,即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和.并写成321uuus如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形播放,2,1)34(11nPPnn]})91[(4{31121AAAnnnn1121211)91(43)91(43913AAAAnn,3,2n周长为面积为]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA第次分叉：n于是有nnPlim)941311(lim1AAnn.532)531(1A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa级数变为不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn例2判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn)1211(21limlimnsnnn),1211(21n,21.21,和为级数收敛三、基本性质性质1如果级数1nnu收敛,则1nnku亦收敛.性质2设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明nkkkuuu21nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明)()(54321uuuuu,21s.limlimssnnmm则,52s,93s,,nms注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.收敛发散四、收敛的必要条件级数收敛.0limnnu证明1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun级数收敛的必要条件:注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数讨论nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)lim(2nnnss于是ss,0.级数发散)(210n便有.这是不可能的)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.级数发散由性质4推论,调和级数发散.五、小结1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.常数项级数的基本概念基本审敛法思考题设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？思考题解答能．由柯西审敛原理即知．一、填空题:1、若nnan242)12(31,则51nna=____________；2、若nnnna!,则51nna=______________________；3、若级数为642422xxxx则na_______；4、若级数为97535432aaaa则na________；5、若级数为615413211则当n_____时na_____；当n______时na________；6、等比级数0nnaq,当_____时收敛；当____时发散.练习题三、由定义判别级数)12)(12(1751531311nn的收敛性.四、判别下列级数的收敛性:1、n31916131；2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数61514131211的敛散性.练习题答案一、1、1086429753186427531642531422121；2、543215!54!43!32!21!1；3、)2(6422nxn；4、12)1(11nann；5、kkkk21,2,12.12；6、1,1qq.三、收敛.四、1、发散；2、收敛；3、发散、[nkknks12)10121(].五、发散.[取np2]一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.nsss212.正项级数收敛的充要条件:定理.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns部分和数列为单调增加数列.}{ns且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.证明nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较审敛法nvvv21nns则)()2(nsn设,nnvu且不是有界数列.1发散nnv推论:若1nnu收敛(发散)且))((nnnnvkuNnkuv,则1nnv收敛(发散).定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu证明lvunnnlim)1(由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.设1nnu为正项级数,如果0limlnunn(或nnnulim),则级数1nnu发散;如果有1p,使得npnunlim存在,则级数1nnu收敛.5.极限审敛法：例3判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛.6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.证明,为有限数时当,0对,N,时当Nn,1nnuu有)(1Nnuunn即,1时当,1时当,1取,1r使,11NmmNuru,12NNruu,1223NNNurruu,,111mNmur收敛而级数,11收敛NnummNuu收敛,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruu.0limnnu发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:1.当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn)1(,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu2.条件是充分的,而非必要.例4判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n.!11收敛故级数nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn101n.10!1发散故级数nnn)3()22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数nn.)12(211收敛故级数nnn7.根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;,1,1n