3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

第三节用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系统函数H(z)。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。即S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部。一、脉冲响应不变法的转换原理核心原理：通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。转换步骤：)()()()()(zHnhnThthsHZaaa变换等间隔采样拉氏逆变换设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)()[()]aaHsLTht设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：1()NiaiiAHsss式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()(式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：1()()()iNsnTaiihnhnTAeunT对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：11()1iNisTiAHzez11zeAssATsiiii一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，将一对复数共轭极点放在一起，可形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为：可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为：1111121211cos12cosTTTzeTzeTze1112211()sjs极点为如果模拟滤波器二阶基本节的形式为：1111112211112121,()sin12cosTTTjszeTzeTze1111112211112121,()sin12cosTTTjszeTzeTze极点为相应的数字滤波器二阶基本节的形式为：^()()()aanhthttnT设ha(t)的采样信号用表示，)(ˆtha二、存在的问题拉氏变换：snTnastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()()()(ˆ)(ˆsTsTezeznnazHznh)()(上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：sTez将s=jΩ代入上式，得我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足：)(ˆtha)(ˆjHaksaajkjHTjH)(1)(ˆsTezksaazHjksHTsH)()(1)(ˆsTez由：jrezjsTjTjeere得到：TerTjS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)0(s左半平面)r1(z平面单位圆内部)0(s右半平面)r1(z平面单位圆外部)①r与的关系②与的关系：=T=0(s平面实轴)=0(z平面正实轴)=0=0T(s平面平行于实轴的直线)(z平面始于原点，辐角为0T的辐射线)：从-/T～/T：从-～(s平面为2/T的一个水平带)(z平面辐角转了一周，覆盖整个z平面)Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射存在的问题：混叠失真可得：＝由：ksajksHTzH)(1)(TkjHTeHkaj21)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即：TjHTeHaj1)(|ω|π但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想），变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应不变法的频率混叠现象数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比：TjHTeHaj1)(|ω|π如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令：h(n)=Tha(nT)则有:NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHeHakaj2)(很小的数在分子比在分母安全！例：已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为：20.5012()0.64490.7079aHsss用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解：首先将Ha(s)写成部分分式0.32240.3224()0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为：12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj那么H(z)的极点为：1212,sTsTzeze设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则111212120.3276()11.03280.2470.0485()11.93070.9375zHzzzzHzzz转换时，也可以直接按照二阶节的公式来直接写。)()(21jjeHeH和)(jH优点：脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好。模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。缺点：有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此会产生混叠现象。