调和函数

第七节解析函数与调和函数的关系3.4.1调和函数的定义3.4.2解析函数与调和函数的关系3.4.3由调和函数构造解析函数3.4.4小结与思考23.4.1调和函数的概念定义3.5如果二元实函数H(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：22220HHxy则称H(x,y)为区域D内的调和函数。注：2222xy称为Lplace算子例如：f(x,y)=x2-2xy2不是一个调和函数调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.3设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件,,xvyuyvxu得222222,,uvuvxxyyyx内有，故在内连续，它们必定相等在与因DDxyuyxv2222220uuxy同例,在D内有22220vvxy即u及v都是D内的调和函数3.4.2解析函数与调和函数的关系4v称为u在区域D内的共轭调和函数.,uvuvxyyx定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数例如:设f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析原因:u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件定义3.6u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足C.-R.条件：5定理3.18若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则称在区域D内v(x,y)必为u(x,y)的共轭调和函数.定理3.19设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数,则可构造函数v(x,y)：00(,)(,)(,)xyxyuuvxydxdyCyx使f(z)=u+iv是D内的解析函数.3.4.3由调和函数构造解析函数注：1.若(0,0)∈D,则在(3.22)中,常取(x0,y0)=(0,0)2.(3.22)可用如下方法记忆:dv(x,y)=vxdx+vydy=-uydx+uxdy6例3.15验证u(x,y)=x3—3xy2是z平面上的调和数，并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使合f(0)=i解：22336uuxyxyxy22226uuxxy22220uuxy要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)方法一：线积分法，用公式3.22得：,220,0(,)6(33)xyvxyxydxxydyC7,0220,0,22,0(,)6(33)6(33)xxyxvxyxydxxydyxydxxydyC22230(33)3yxydyCxyyC故：3223()33fzuivxxyixyyC33xiyiCziC再由f(0)=i,得出C＝1，故f(z)=z3+i方法二：两次积分法：首先由C-R条件得：vy=ux=3x2-3y22223(,)(,)333yvxyvxydyxydyxyyx8由此得：6()6()0xyvxyxuxyx23()(,)3xCvxyxyyC方法三：全微分法CRxyyxdvvdxvdyudxudy22226(33)(63)3xydxxydyxydxxdyydy232323(3)(3)(,)3dxydydxyyvxyxyyC方法四：不定积分法2222()(33)63()3xyfzuiuxyixyxiyz323()(,)3fzzCvxyxyyC3(0)()fifzzi9不定积分法.,),(),(不定积分法求解析函数的方法称为用不定积分或已知调和函数yxvyxu不定积分法的实施过程:,)()(仍为解析函数的导数解析函数zfivuzfxxivuzf)(且yxiuuxyivv,来表示用与把zivviuuxyyx),()(zUiuuzfyx),()(zVivvzfxy10将上两式积分,得,d)()(czzUzf,d)()(czzVzf,)(zfu求适用于已知实部,)(zfv求适用于已知虚部11若已知v,可用类似的方法求udu(x,y)=uxdx+uydy=vydx-vxdy00(,)(,)(,)xyxyvvuxydxdyCyx例3.16验证v(x,y)=arctan(y/x)(x0)再由半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)2222xyyxvvxyxy222222220xxyyxxyyxyxyvvvvxyxy12答案课堂练习.,236),(3223并求其共轭调和函数调和函数为证明yxyyxxyxu.263),(3322cxyxyyxyxv)(为任意常数cxyyxduudxudyvdxvdy2222221dln()2xyxdydxyxyxy13例3.17.0)0(,)(,)sincos(),(fivuzfyxyxyyeyxvx使求一解析函数和函数为调已知解,1)sinsincos(yyxyyexvx,1)cossin(cosyxyyyeyvxyvxu由,1)cossin(cosyxyyyexxyxyyyeuxd]1)cossin(cos[得14),()sincos(ygxyyyxeux,得由yuxv1)sinsincos(yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex,)(cyyg故,)sincos(cyxyyyxeux于是15,)1(czizez,0)0(f由,0c得所求解析函数为.)1()(zizezfzivuzf)(ciiyixeiyeexeiyxiyx)1()1(16).(1)(,)(,.,22zfifivuzfvkyxuk的并求为解析函数使再求为调和函数使值求例3.18解根据调和函数的定义可得,1k,2xxu因为,222xu,2kyyu,222kyuyxiuuzUzf)()(因为kyix2217kyix22yix22,2zzzzfd2)(根据不定积分法,2cz,1)(if由,0c得所求解析函数为.2)(222zxyiyxzf18用不定积分法求解例1中的解析函数yxiuuzUzf)()()2(322yxyixi,32izzizzfd3)(2,13ciz),,)((1为任意纯虚数所以常数实的任意常数不可能包含的实部为已知函数因为czf例3.20.3),(23yxyyxu实部解)(为任意实常数c).()(3czizf故)(zf19例3.21解用不定积分法求解例2中的解析函数)(zf.)sincos(),(yxyxyyeyxvx虚部xyivvzVzf)()(]1)sinsincos([yyxyyeix1)cossin(cosyxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx1cos)(sin)()sin(cos20iyiyeiyxyiyexx1]sin[cos)()sin(cosieiyxeiyxiyx1)(,1izeezzzzVzfd)()(zizeezzd)1(.)1(czizez)(为任意实常数c21.)(),(2)4)((22ivuzfyxyxyxyxvu试确定解析函数已知例3.22解,2)42)(()4(22yxyxyxyxvuxx两边同时求导数,2)24)(()4(22yxyxyxyxvuyy,,xvyuyvxu且所以上面两式分别相加减可得22,23322yxvy,6xyvxxyivvzf)(xyiyx623322,232zzzzfd)23()(2.23czz)(为任意实常数c233.3.4小结与思考本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.2.满足柯西—黎曼方程ux=vy,vx=–uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.放映结束，按Esc退出.