3.类型三 图形形状变化引起的探究(word版习题)

1专题七类比、拓展探究题类型三图形形状变化引起的探究(2014、2012.22)试题演练1.(2017南阳模拟)(1)问题发现如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：①∠ACE的度数为________；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为________________．(2)拓展探究如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第1题图2.如图所示，(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图①给予证明；(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD2＝kAB，AF＝kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图②说明理由；(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝α，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图③，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用α表示出直线BE、DF形成的锐角β.第2题图3.(2017成都10分)问题背景如图①，等腰△ABC中．AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3.迁移应用(1)如图②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.ⅰ)求证：△ADB≌△AEC；ⅱ)请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式．拓展延伸(2)如图③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF.ⅰ)证明△CEF是等边三角形；ⅱ)若AE＝5，CE＝2，求BF的长．3第3题图4.(1)操作发现如图所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE、BG.①图中∠DCE＋∠BCG＝________；②设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为________；(2)猜想论证如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE、BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)拓展探究如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，求CP的长．第4题图4答案试题演练1.解：(1)①60°；【解法提示】∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE＝∠B＝60°；②AC＝CD＋CE，【解法提示】由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD＋CD，∴AC＝CD＋CE；(2)∠ACE＝45°，2AC＝CD＋CE，理由是：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∵BC＝CD＋BD，∴BC＝CD＋CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC＝2AC，∴2AC＝CD＋CE；5(3)14＋22.【解法提示】如解图，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，∴BD＝22，BC＝7，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由(2)得：2AC＝BC＋CD，∴AC＝2BCCD＝7＋12＝14＋22.第1题解图2.解：(1)DF＝BE，DF⊥BE；证明：延长DF分别交AB、BE于点P、G.第2题解图①在正方形ABCD和等腰直角△AEF中，6AD＝AB，AF＝AE，∠BAD＝∠EAF＝90°，∴∠FAD＝∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴∠AFD＝∠AEB，DF＝BE.∵∠AFD＋∠AFG＝180°，∴∠AEG＋∠AFG＝180°，∵∠EAF＝90°，∴∠EGF＝180°－90°＝90°，∴DF⊥BE；(2)DF＝kBE，DF⊥BE.如解图②，延长DF交EB于点H，∵AD＝kAB，AF＝kAE，∴ADAB＝k，AFAE＝k，∴ADAB＝AFAE，∵∠BAD＝∠EAF＝90°，∴∠FAD＝∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴DFBE＝AFAE＝k，∴DF＝kBE，∵△FAD∽△EAB，∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AFD＋∠AFH＝180°，7∴∠AEH＋∠AFH＝180°，∵∠EAF＝90°，∴∠EHF＝180°－90°＝90°，∴DF⊥BE.第2题解图②(3)不改变．DF＝kBE，β＝180°－α.如解图③，延长DF交EB的延长线于点H，第2题解图③∵AD＝kAB，AF＝kAE，∴ADAB＝k，AFAE＝k，∴ADAB＝AFAE，∵∠BAD＝∠EAF，∴∠FAD＝∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴DFBE＝AFAE＝k，∴DF＝kBE.由△FAD∽△EAB得∠AFD＝∠AEB，8∵∠AFD＋∠AFH＝180°，∴∠AEB＋∠AFH＝180°，∵四边形AEHF的内角和为360°，∴∠EAF＋∠EHF＝180°，∴∠EAF＝α，∠EHF＝β，∴α＋β＝180°，∴β＝180°－α.3.(1)ⅰ)证明：由题意可知：AD＝AE，AB＝AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC(SAS)；ⅱ)解：CD＝3AD＋BD.【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝3AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝3AD，由ⅰ)知，△ADB≌△AEC(SAS)，∴EC＝DB，∴DC－DB＝3AD，即CD＝3AD＋BD.(2)ⅰ)证明：如解图，连接BE，过点B作BG⊥AE于点G.第3题解图∵点C、E关于BM对称，∴BE＝BC，CF＝EF，∠3＝∠4，∠EFB＝∠CFB，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，9∴AB＝BC＝BE，又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2，∴∠GBF＝∠2＋∠3＝12∠ABC＝60°，∵在四边形GBNE中，∠GEN＝360°－∠EGB－∠ENB－∠GBN＝120°，∴∠FEN＝60°，又∵EF＝FC，∴△EFC为等边三角形；ⅱ)解：∵AE＝5，CE＝2，∴EG＝12AE＝52，EF＝CE＝2，∴GF＝EG＋EF＝92，∵在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，∠GFB＝30°，∴BF＝cos30GF＝33.4.解：(1)①180°，②S1＝S2；【解法提示】①∵四边形ABCD、EFGC都是正方形，∴∠BCD＝∠ECG＝90°，∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°，∴∠BCG＋∠ECD＝180°；②如解图①，过点E作EM⊥DC于M点，过点G作GN⊥BC交BC的延长线于N点，∴∠EMC＝∠N＝90°，∵四边形ABCD和四边形ECGF为正方形，∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3.在△CME和△CNG中，13EMCGNCECCG，∴△CME≌△CNG(AAS)，∴EM＝GN，又∵S1＝12CD·EM，S2＝12CB·GN，∴S1＝S2；10第4题解图①(2)猜想：S1＝S2，证明：如解图②，过点E作EM⊥DC于点M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，第4题解图②∴∠EMC＝∠N＝90°，∵矩形CGFE是由矩形ABCD旋转得到的，∴CE＝CB，CG＝CD，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3.在△CME和△CNB中，13EMCBNCECBC，11∴△CME≌△CNB(AAS)，∴EM＝BN，又∵S1＝12CD·EM，S2＝12CG·BN，∴S1＝S2；(3)CP＝1033cm或2033cm.理由：如解图③，作DM⊥AC于点M，延长BA，交EC于点N，∵AB＝AC＝10cm，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∴∠BAC＝120°，根据对折的性质得，∠ACE＝∠ACB＝30°，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE＝30°，∴∠BAD＝90°，DM＝12AD，∴BN⊥EC，∵AD＝tan∠ABD·AB，AB＝10cm，∴AD＝tan30°×10＝1033cm，∴DM＝12×1033＝533cm，∵S△ABP＝12AB·PN，S△ADC＝12AC·DM，S△ABP＝S△ADC，AB＝AC，∴PN＝DM＝533cm，在Rt△ANC中，∠ACN＝30°，AC＝10cm，∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos30°×10＝53cm，∵在EC上到N的距离等于533的点有两个，∴P′C＝1033cm，P″C＝2033cm，12∴CP的长为1033cm或2033cm.第4题解图③