随机过程的统计特性―数字特征

随机过程的统计特性随机过程的统计特性——数字特征数字特征1.随机过程的概率分布1212()()()()()0ininXtXtXtXtXttttttLLLLMMMMMMMMLLLL随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1),X(t2),…,X(tn)构成n维随机变量[X(t1),X(t2),…,X(tn)]，当Ut→0,n→∞时的n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1∈T，其状态是一维随机变量，其分布函数可以反应随机过程X(t)在整个时间段T上的所有一维状态的概率分布情况。所以定义随机过程X(t)的一维分布函数：一维概率密度：也变化。变化，，随着，因为换成如果将);(t})({);(111txFtTttxtXPtxFXX∈≤=);(txFXxtxFtxfXX∂∂=);(),(TtxtXPtxFX∈≤=.........}.........)({);(一维分布只能描述随机过程X(t)在任一孤立时刻的统计特性，而不能反应随机过程X(t)的各个状态之间的关系。二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在任意两个固定时刻t1∈T，t2∈T的状态X(t1),X(t2)构成二维随机变量{X1，X2}，其联合分布函数：随着(t1,t2)的变化，可以表示随机过程X(t)在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。所以定义随机过程X(t)二维分布函数：随机过程X(t)二维概率密度：21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX∂∂∂=TttxtXxtXPttxxFX∈≤≤=2122112121,.........}.........)(;)({),;,(),;,(2121ttxxFXTttxtXxtXPttxxFX∈≤≤=2122112121,.........}.........)(;)({),;,(同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质：1）2）3）0),...,,;,...,,(1),...,,;,...,,(0),...,,...,,;,...,,...,,(2121212121≥=∞∞∞=−∞nnXnXninXtttxxxftttFttttxxxF4）5)6）如果X(t1),X(t2),…X(tn)统计独立，则有1...),...,,;,...,,(212121=⋅⋅⋅∫∫∞∞−∞∞−nnnXdxdxdxtttxxxf),...,,;,...,,(...),...,,;,...,,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf=⋅⋅⋅∫∫∞∞−∞∞−++12121122(,,...,;,,...,)(,)(,)...(,)XmmXXXnnfxxxtttfxtfxtfxt=三、随机过程X(t)的n维概率分布随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1)、X(t2)、…、X(tn)构成n维随机变量[X1,X2,…,Xn]。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为：})(,...,)(,)({),...,,;,...,,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxF≤≤≤=n维概率密度为：nnnXnnnXxxtttxxxFtttxxxf∂∂∂=...),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(1212121212.随机过程的数字特征一、数学期望数学期望如果将过程X(t)中的t看成是固定的，则X(t)就是一个随机变量，它随机的取值x，其在t时刻取x值的概率密度为。据期望的定义：[()](,)()XXEXtxfxtdmtχ∞−∞=⋅=∫mmxx(t(t))描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心在各个时刻摆动的中心－－即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。(,)Xfxt)(0)(tmttXX1()Xmt1t()Ximtit二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X(t)中的t视为固定时，X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X(t)的均方值。22[()](,)XEXtxfxtdx∞−∞=∫222[()]{[()()]}[()](,)()XXXXDXtEXtmtxmtfxtdxtσ∞−∞=−=−⋅=∫同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：)()()]([2tttXDXXσσ==故离散型随机过程离散型随机过程Y(t)Y(t)的数学期望为：∑=−=miiiYyytptyf1)()();(δ})({)(iiytYPtp==11112221221()()()()()()()()()[()]()()[()][()]()mmYiiiiiiimmiiiiiiimYiiimXiYiimtyptyydyptyyydyptyyydyypttEYtypttDYtymtptδδδϕσ∞∞−∞−∞==∞−∞=====−=−=⋅−=====−∑∑∫∫∑∑∫∑∑对离散型随机过程Y(t),t∈T,若所有状态取值的样本空间为Ω＝{y1,y2,…,ym}。可用利δ函数表示其一维概率密度。即：i∈I={1,…,m}其中表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。均方值为：方差为：三、随机过程的自相关函数自相关函数下面两个随机过程X(t)，Y(t)它们的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，σx(t)=σy(t)。但从样本函数看有明显不同。χ(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况化快慢、相关性强弱的状况。ttttmttXXX210)()()(σttttmttYYY210)()()(σ一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征——自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。状态X(t1)与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：∫∫∞∞−∞∞−⋅⋅==212121212121),;,()]()([),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222(,){[()()][()()]}[()][()](,;,)(,)(,)()()(,)[()](,)[()]()XXXXXXXXXXXXXCttEXtmtXtmtxmtxmtfxxttdxxCttRttmtmttttRttEXtCttDXttσ∞∞−∞−∞=−⋅−=−⋅−⋅=−⋅===⇐==⇐∫∫时，过程的均方值。过程的方差。例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]，D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)。解：10212121212122121212012121212101()0[()][][]()2(,)[()()][][]()3(,)(,)()()3UUXUXXufutEXtEUttEUtufudutuduRttEXtXtEUtUtttEUttttufuduttudutttCttRttmtmt∞∞∞−∞≤≤⎧=⎨⎩∴=⋅=⋅=⋅=⋅===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=−⋅=−∫∫∫∫Q－，，其它121222212[()](,)12XttttDXtCtt⋅⋅===例2若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX(t1,t2)。解：由题意可知，随机过程X(t)在t1,t2两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：1/413ζ41/426ζ31/442ζ21/451ζ1PζiX(t2)X(t1)1212(,)1(15246231)74iXiRttkkPζζ∴=⋅⋅∈Ω=×+×+×+×=∑1212112212(,){(),()},XXRttkkPXtkXtkkkε=⋅⋅==∈∑∑Q一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率为0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2}=0。由于一次试验结果只有一个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1时刻的状态必在ζ3上取值，且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。k1,k2必在一条样本上，此情况发生的概率为1/4。P{X(t1)=k1,X(t2)=k2}=1/4。←样本ζi发生的概率。