第8节-拉普拉斯定理

①一个行列式的k级子式和余子式有很多。k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。②k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式，注释1二、Laplace定理定理8.3在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于.A③Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）①理解引理和Laplace定理以及会用定理即可②k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则注释21214012110130131D例1计算行列式解1122,10M2110,11M3141,13M5246,03M4212,01M614113M它们的代数余子式为考虑它的2阶子式和余子式取前两行，1312101(1)0,01A1324211(1)2,11A1323312(1)5,13A1312401(1)0,01A4113502(1)0,03A1312601(1)0.01A(2)10(2)(1)52060(1)07D例2证明111111111111111111110000mmnmmmmnmmmnnnnnmnnnaaababaaccbbaabbccbb证明把左边行列式按照前m行展开，则该m行左上上角的m阶子式M不等于0，而其它m阶子式至少有一列全是0，从而其它m阶子式都等于0.熟记该结论，后面经常用其中1111,mmmmaaMaa因此，由Laplace定理得它的代数余子式为111(12)(12)1(1)nmmnnnbbNbb1111.nnnnbbbb原行列式=MN,结论成立。设有两个n级行列式1112121222112,nnnnnnaaaaaaDaaa1122,1,2,,ijijijinnjcabababijn；11121212221212nnnnnnccccccDDccc则1112121222212nnnnnnbbbbbbDbbb，例3记证明作一个2n阶的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb11111111nnnnnnnnaabbDaabb应用拉普拉斯定理，按照前n行展开除左上角的n阶子式不等于0，其余n阶子式都有0列下面采用另外的方法计算行列式D。kjnja把第行的倍加为此，对D应用行列式的性质，左上角为零的2n阶行列式：,,1,2,,.kjkn到第行11111111000011nnnnnnnnaaaabbbb111111111000011nnnnnnnccccbbbb以便把它化成一个其中1122,,1,2,,.ijijijinnjcabababijn11111111000011nnnnnnnnaaaabbbb111111111000011nnnnnnnccccbbbb把上面第二个行列式按前n行展开得11121(12)((1)(2)2)212221211(1)1nnnnnnnnnnccccccDccc11111111nnnnnnnnaabbDaabb111212122212nnnnnnccccccccc例4计算行列式abcdbadcDcdabdcba2abcdabcdbadcbadcDcdabcdabdcbadcba解abcdabcdbadcbadccdabcdabdcbadcba2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcdabcdabcdbadcbadccdabcdabdcbadcba42222abcd由于在D中的系数是1，4a22222.Dabcd于是例5111212122212nnnnnnAAAAAADAAA证明111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，1.D,,1,2,,.ijijaAijn112111222212nnnnnnAAAAAAAAA设D是实元素的n阶行列式，且元素不全等于0。假设D的每个元素的与其代数余子式相等。证明当2n时，记于是由行列式按行列展开法则得nDDDD1122,0,ikikinknDikaAaAaAik2DDD一方面，111212122212nnnnnnaaaaaaaaa112111222212nnnnnnAAAAAAAAA22(1)0.nDD另一方面，2110.nnijijnDa1nijijjDaA22211121nDaaa22221222naaa22212nnnnaaa21.nijja1,2,,in对因此，由上面两方面知，结论成立。作业：P130Ex1(2),(4),2(1)(3)