概率统计电子教案

概率统计四川警察学院内容与学时第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章数理统计的基本知识第六章参数估计(19学时)数理统计(29学时)概率论第七章假设检验概率论被称为“赌博起家”的理论最早产生与17世纪，是一门比较古老的数学学科，有趣的是，尽管任何一门数学分支的产生和发展不外乎是生产、和科学或数学自身发展推动的，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究，“分赌金问题”如何分比较合理？赌徒求教于帕斯卡，帕斯卡与费尔马共同解决这个问题，从而建立了概率论的第一个基本概念—数学期望。概率论与数理统计的发展简史1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。在他们之后，对于研究这种随机（或称偶然）现象规律的概率论做出了贡献的是伯努利家族的几位成员，雅各布－伯努利给出了赌徒输光问题的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理（伯努利定理）这是研究偶然事件的古典概率论中极其重要的结果，它表明在大量观察中，事件的频率与概率是极其接近的，历史上第一个发表有关概率论论文的人是伯努利，他于1713年发表了一篇关于极限定理的论文。概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型作为概率来研究的，直到1812年拉普拉斯在他的著作《分析概率论》中给出概率明确的定义，并且还建立了观察误差理论和最小二乘法估计法，从这时开始对概率的研究，实现了从古典概率论向近代概率论的转变。概率论在二十世纪再度迅速发展起来，则是由于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程论，1906年俄国数学家马尔可夫（1856-1922）提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫（俄国）、费勒（美国）；1934年俄国数学家辛钦又提出了一种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机过程理论在科学技术有着重要的应用，开始建立了马尔可夫过程与随机微分方程之间的联系。1960年，卡尔门（1930—英国）建立了数字滤波论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。概率论的公理化体系是柯尔莫哥洛夫1933年在集合论与测度论的基础上建立起来的，从而使概率论有了严格的理论基础。我国概率论发展简介我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我国科学家对概率统计也取得了较大的成果。第一章随机事件与概率§1随机事件一、随机现象1.必然现象与随机现象必然现象：在一定条件下，必然出现某种结果的现象。随机现象：在一定条件下，可能出现某种结果，也可能不出现那种结果的现象。随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律的，然而在大量重复实验中其结果又具有统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。对随机现象的统计规律进行研究，就需要对随机现象进行重复观察，我们对随机现象的观察就称为随机试验。满足以下三个特点：(1)在相同条件下可重复进行;(2)试验前就能确定试验的所有可能结果,且结果不止一个；(3)试验前不能确定到底会出现哪一种结果。二、随机试验三、样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S，样本空间的元素，即E每个结果为基本事件或样本点。S={0,1,2,…}；S={正面，反面}；S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；S={x|a≤x≤b}记录一城市一日中发生交通事故次数例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y记录一批产品的寿命x四随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件，简称为事件。当且仅当A所包含的一个样本点出现时，称事件A发生。S＝{0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，基本事件的全体组成的样本空间；随机事件由若干个基本事件构成,它是样本空间的子集样本空间S包含所有的样本点，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。必然事件与不可能事件都是确定性事件。注：S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；例：观察89路公交车浙大站候车人数，例：观察89路公交车浙大站候车人数，五、事件的关系与运算设S为样本空间，A、B为两个事件（即),(SBSA1．包含关系与相等关系：定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，记为BA。例如，A=出现4点，B=出现偶数点，则有BA若BA且AB，即BA，则称事件A与事件B相等。SBABA如右图：2．事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”的事件称为A与B的和（或并），记A+B或BA。或者说：A发生或B发生就称为A+B。ABA+B如图所示:类似地，称“事件nAA,,1中至少有一个发生”的事件为这n个事件的和，记为：nAAA21或knkA1。“可列个事件nAA,,1,…中至少有一个发生”的事件为这可列个事件的和，记为nAAA21或kkA13．事件的积（或交）：“Ａ发生且Ｂ发生”或者说“Ａ与Ｂ同时发生”称为事件A与B的积（或交），记为AB或BA。AB如图所示：AB也可说成A与B都发生。类似地，称“事件nAA,,1中同时发生”的事件为这n个事件的积，记为：nAAA21或knkA1。“可列个事件nAA,,1,…同时发生”的事件为这可列个事件的积，记为nAAA21或kkA14．事件的差：“事件A发生而事件B不发生”称为A与B的差。记为A-B。如下左图所示：5．互不相容：若A与B不能同时发生，则称A与B互不相容或互斥，即：AB。如上右图所示A-BBA-BABAB=φ6．对立事件：若SBA且BA“则称事件A与事件B为对立事件或逆事件，称事件A为事件B的逆事件记为A。于是ASA，含义：事件A、B中有且仅有一个发生。注：对立事件与互不相容事件的区别：互不相容：AB=且A+B对立事件：AA且AAAAS七、事件的运算规律：(1)交换律：,ABBABAAB(2)结合律：CBACBA)()(或写成CABBCA)()((3)分配律：))(()(CABABCA或写成))(()(CABABCA)()()(ACABCBA(4)自反律：AA(5)德摩根律:ABAB或ABABBAAB或BAAB也称为对偶律例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：ABABABAB{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}ABAB例：甲、乙、丙三人各射一次靶，记A——“甲中靶”，B——“乙中靶”，C——“丙中靶”则下列事件如何表示：（1）“甲未中靶”（2）“甲中靶而乙未中靶”（3）“三个人中只有丙未中靶”（4）“三人中恰好有一人中靶”（5）“三人中至少有一人中靶”（6）“三人中恰有两人中靶”（7）“三人中至少两人中靶”（8）“三人均未中靶”（9）“三人中至多一人中靶”（10）“三人中至多两人中靶”§2随机事件的概率1.频率：设事件A在n次试验中共发生了An次，则比值：称为事件A（发生）的频率，记作)(Afn=nnA，An称为事件A发生的频数。基本性质：（1）10nf（2）1Sfn（3）设nAA,,,A21是两两互不相容的事件，则nnnnnAfAfAAAf121一、频率及其性质试验者掷硬币次数n正面出现次数nA正面出现频率Buffon(蒲丰)404020480.5069Pearson(皮尔逊)1200060190.5016Pearson(皮尔逊)24000120120.5005例如：实践表明，当试验次数n逐渐增大时，频率)(Afn逐渐稳定于某个常数，这个特性叫做“频率的稳定性”，那个常数叫做频率的稳定值。就用这个稳定值定义为事件A的概率，此即概率的统计定义。2.概率：频率的稳定值，记为p。(probability)事件A发生的概率记为p(A)=p频率稳定值概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义返回主目录二、概率的公理化定义概率的定义定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为称为事件A的概率，要求满足下列条件：;1)(20SP;)(010AP)()()(2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,,,3201AA,)(AP)(AP三、概率的性质;0)(1P性质则是两两互不相容事件若性质,,,,221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn)()()()()(3APBPAPBPABPBA性质SAB()0()1PAAPAAS不能；不能；;)(1)(5APAP性质;1)(4AP性质。性质)()()()(6ABPBPAPBAPSABSAAB重要推广)()()()()()()()()1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()()()2ABPBPABPSBA生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同。一．等可能概型（古典概型）比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。等可能概型&3.古典概型与几何概型对古典概型的概率，有如下计算公式：)(APnkSA中基本事件总数中包含的基本事件数例1掷一个骰子，观察出现的点数，若A表示出现偶数点，求AP.解：2163AP例2.总数1000张，一等奖2张，二等奖50张，三等奖98张。求（1）任抽一张，中奖的概率。（2）任抽二张，中奖的概率和没有中奖的概率。解：(1)A—任抽一张且中奖基本事件总数＝1000,中奖包含的基本事件数＝2+50+98=1502031000150AP(2)B—任抽二张且中奖基本事件的总数＝21000CB中所包含的基本事件数：21BBB1B——一张中奖一张没有中奖2B——二张都中奖1B中所包含的事件数为1275008501502B中所包含的事件数为1117521491502150C28.021BPBPBPB表示任取二张未中奖0.721BPBP例3将一枚硬币抛掷三次。设：事件A1为“恰有一次出现正面”，事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A1),P(A2)。解：根据上一节的记号，E2的样本空间S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},n=8，即S中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。,83==)(3=1nkAPk，A1为“恰有一次出现正面”，A1={HTT,THT,TTH},等可能概型.87=811=)(1=)(22APAP,81==)(1=T},T{T=:2222nkAPkAAA，由于另解事件A2为“至少有一次出现正面”，A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH},87==)(7=222nkAPk，等可能概型例