3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式汤阴一中刘千霞复习两角和（差）的三角公式S(αβ)C(αβ)T(αβ)sinsincoscoscossincoscossinsintantan1tantantan若上述公式中，你能否对它进行变形？sinsincoscos)cos(cossincossin)sin(cossin22sinsinsincoscos)cos(22sincos2cos令sin(+)=sincos+cossin?2sin?2cos令tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(2tan1tan22tan令?2tan对于能否有其它表示形式？2C公式中的角是否为任意角？1222coscos2212sincosRRcossinsin22222sincoscos2122tantantan二倍角公式：,且，42k2kZk对二倍角的理解正弦、余弦的三倍角公式：1.sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a2.cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosa口答下列各式的值：002202020(1)sin22.5cos22.5;(2)cossin;882tan15(3);(4)12sin75.1tan15公式识记1oooo22oo2o1sin15cos152sin15+cos15ππππ3cos-sincos+sin121212121π244-cos5-+cos1528332tan150π67cos1-tan15012、求值：（）（）（）（）（）（）（）（）（）oo5πcos12138-sin10cos10（）14623234333144练习：2、求下列各式的值：(1)；(2)sin10°sin30°sin50°sin70°.12cos24cos48cos48sin8例2．化简：(1sincos)sincos2222cos．3.例2、已知4tan,4cos,4sin），，（，241352sin求的值。解：5sin22132，（，），12cos213512120sin42sin2cos22()1313169169119)135(212sin214cos22119120119169)169120(4cos4sin4tan238,128∵解：,53)54(18cos18sin22aa,2524)54()53(28cos8sin2)82sin(4sinaaaa,257)53()54(8sin8cos)82cos(4cos2222aaaa.72425725244cos4sin4tanaaa练习的值。求已知4tan,4cos,4sin,128,548costan2A2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系?4cos,tan2,tan2235ABCABAB在△中，求（例、）的值。,0,54cosAAABC∵中，解法一：在△,53)54(1cos1sin22AA,435453cossintanAAA.724431243tan1tan2)2tan(22）（AAA.342122tan1tan2)2tan(22BBB117442tan2tan12tan2tan)22tan(BABABA4cos,tan2,tan2235ABCABAB在△中，求（例、）的值。,0,54cosAAABC∵中，解法二：在△,53)54(1cos1sin22AA,435453cossintanAAA.2112431243tantan1tantan)tan(BABABA)](2tan[)22tan(BABA.11744)211(1)211(2)(tan1)tan(222BABA4cos,tan2,tan2235ABCABAB在△中，求（例、）的值。变式练习1:在等腰⊿ABC中,已知sinC=,求tanA的值.102135.sincossincos例已知，（，2），求2，2.242257225sincos隐含的角范围sincos,0,sin2cos212、已知3求和已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．分析：(1)关键是将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)通过角的拆分将cos2x0与f(x0)联系起来，即可将问题解决．解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.(2)由(1)，可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．2:求函数的值域解：xxxysincoscos2xx2sin2122cos11)42sin(1x因为：]221,221[y所以：在三角函数中求函数值域,把不同名函数化成同名函数，不同角化成同角是常用的方法这方法你会了吗?——降幂xxxysincoscos221)42sin(22xxxy2sin21cos2学以致用!的值域。求函数),(,sincossin:122xxxxy升、降幂公式22222122122122sinsincossincos=sincoscoscoscossin（）22122122coscoscossin1、升幂公式：2、降幂公式：升幂缩角降幂扩角例4.化简(1)1sin40;(2)1sin40;(3)1cos20;(4)1cos2022sin2cos4变式：如何化简呢？211.sinsin变式化简，（0，）.化简原则1.无理式化有理式，分式化整式2.能求出值的一定求出来3.根据角范围去绝对值2222sincos当（0，）时，原式=2当（，）时，原式=21sin2cos2tan1sin2cos2求证：例5.练习：求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.2．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈π2，π，β∈－π2，0，求sinα的值．解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×－1213＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈π2，π，∴sinα＝3130130.例6．已知函数．求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．2πππ()12sin()2sin()cos()888fxxxx运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构;对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。[典例](2012·安徽高考)设函数f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)(3)求对称轴，对称中心求该函数的单调区间[解](1)f(x)＝22cos2x＋π4＋sin2x＝22cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12sin2x，故f(x)的最小正周期为π.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的应用[例3](2013·西域模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．[自主解答](1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－33.由sinx＝0，x∈π2，π，得x＝π；由tanx＝－33，x∈π2，π，得x＝5π6.综上，函数f(x)的零点为5π6或π.解：f(x)＝sin2x＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x∈－π6，π6时，求f(x)的值域．(1)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋π3为单调递增函数，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π3∈0，2π3，∴sin2x＋π3∈[0,1]，∴f(x)＝2sin2x＋π3＋1∈[1,3]．∴f(x)的值域为[1,3]．2．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝sinx＋cosx.解：(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，