一元二次方程根的判别式

解方程：27180xx2323xx2136xx知识回顾、引入课题解方程：27180xx解：7121711212x即：1292xx242bbacxa1718abc121(-18)14-)7(4ac-22b知识回顾、引入课题242bbacxa解方程：2323xx化简为一般式：22330xx1a、b=-23、c=3解：22423413003212bacx（）（-23）23即：123xx知识回顾、引入课题解：去括号，化简为一般式：242bbacxa解方程：2136xx23780xx这里3a、b=-7、c=822474384996470bac-（）方程没有实数解。知识回顾、引入课题用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa3、代入求根公式:2、求出的值，24bac1、把方程化成一般形式，并写出的值。ab、、c4、写出方程的解：12xx、特别注意:当时无解240bac知识回顾、引入课题对于一元二次方程一定有解吗？20(0)axbxca用配方法变形上述方程得到：，2224()24bbacxaa提出问题，导入新知一元二次方程的根的情况：1.当时，方程有两个不等的实数根2.当时，方程有两个相等的实数根3.当时，方程没有实数根反过来：1.当方程有两个不相等的实数根时，2.当方程有两个相等的实数根时，3.当方程没有实数根时，240bac240bac240bac240bac240bac240bac细心观察，总结规律24bac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用“△”表示。△0方程有两个不等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△0方程没有实数根。特别地：△≥0方程有两个实数根；细心观察，总结规律问题一：不解方程，判断下列方程根的情况：2221532022542032310xxyyxx运用规律，解决问题问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？运用规律，解决问题提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步根据△的正负写结论。解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-310,所以原方程无解。（2）（3）因为△=，所以原方程有两个不等的实根。24=10bac224=(4k+1)110bac因为△=，所以原方程有两个不等的实根。运用规律，解决问题例1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为常数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解：△=4k2-16k+16∴△0方程有两个不等实根解：△=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4∴△≥0方程有两个实根含有字母系数时，将△配方后判断运用规律，解决问题问题二：已知方程及其根的情况，求字母的取值范围。一元二次方程228(1)mxmxx，当m为何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。运用规律，解决问题提示：先把方程变形：22(81)80mxmxm，再看△。解：因为2=4161bacm，所以116m（1）当且2m≠0，即且m≠0时，方程有两个不等的实数根；161m0（2）当，且2m≠0，即时，方程有两个相等的实数根；161m0116m116m（3）当，且2m≠0，即时，方程没有实数根.161m0运用规律，解决问题例2：(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A、m﹥0B、m≥0C、m﹥0且m≠1D、m≥0且m≠1解：由题意，得m-1≠0①Δ=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD运用规律，解决问题(2)m为何值时,关于x的方程4x2-mx=2x+1-m有两个相等实根？4x2-(m+2)x+m-1=0解：方程整理为：∴△=(m+2)2-16(m–1)=m2-12m+20若方程有两个相等实根，则△=0m2-12m+20=0∴m1=2m2=10(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？解：△=(2m+1)2-4m2=4m+1若方程有两个不等实根，则△0∴4m+10∴m-1/4对吗？∴m-1/4且m≠0注意二次项系数问题三：解含有字母系数的方程。解方程：2550axx。提示：分类讨论：当a=0时，方程变为：550x当a≠0时，方程为一元二次方程，再利用△确定方程的根的个数，用求根公式求出解。运用规律，解决问题解：当a=0时，x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程.△=25-20a.当△0，即a54时，525202axa；当△=0，即a=54时，x=2；当△0，即a54时，方程无解。运用规律，解决问题问题四求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：Δ=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式运用规律，解决问题1.在一元二次方程中)0(02acbxax则方程异号与若,ca()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法acb42acb420A动脑思考，巩固训练2.一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是______________02212mmxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且变12mm且3.已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状.解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.1、关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是.注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。拓展延伸022mxx04414)2(422mmacb解：∴1m1m2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）A.k-1B.k-1且k≠0C.k1D.k1且k≠0解:∵＞0∴k＞-1又∵k≠0∴k＞-1且k≠0BＡkkacb44)1(4)2(4221.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.