2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角

第三章三角函数、解三角形第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数第三章三角函数、解三角形[主干知识梳理]一、任意角1．角的分类：(1)按旋转方向不同分为、、．(2)按终边位置不同分为和．正角负角零角象限角轴线角第三章三角函数、解三角形2．终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．3．弧度制：(1)1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．第三章三角函数、解三角形(3)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．(4)弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．(5)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2．第三章三角函数、解三角形二、任意角的三角函数1．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．第三章三角函数、解三角形三、三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中cosα＝，sinα＝，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的、、．(cosα，sinα)P(cosα，sinα)OMMPAT余弦线正弦线正切线第三章三角函数、解三角形三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT第三章三角函数、解三角形[基础自测自评]1．－870°的终边在第几象限()A．一B．二C．三D．四C[因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．]第三章三角函数、解三角形2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4B[∵sinα＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.]第三章三角函数、解三角形3．(教材习题改编)若sinα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角C[由sinα0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．]第三章三角函数、解三角形4．若点P在2π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．解析因tan2π3＝－3＝－y，∴y＝3.答案3第三章三角函数、解三角形5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析弧长l＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l＝α·r得r＝lα＝3π34π＝4，面积S＝12lr＝6π.答案46π第三章三角函数、解三角形[关键要点点拨]1．对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°α90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．第三章三角函数、解三角形2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.第三章三角函数、解三角形[典题导入]已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M＝xx＝k2×180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4×180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系．角的集合表示及象限角的判定第三章三角函数、解三角形[听课记录](1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.第三章三角函数、解三角形(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.第三章三角函数、解三角形[规律方法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．第三章三角函数、解三角形[跟踪训练]1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()第三章三角函数、解三角形A．1个B．2个C．3个D．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．第三章三角函数、解三角形解析(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．第三章三角函数、解三角形(2)由已知π2＋2kπαπ＋2kπ(k∈Z)，则－π－2kπ－α－π2－2kπ(k∈Z)，即－π＋2kπ－α－π2＋2kπ(k∈Z)，故2kππ－απ2＋2kπ(k∈Z)，所以π－α是第一象限角．答案(1)C(2)一第三章三角函数、解三角形[典题导入](1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t0)，则tanα的最小值为()A．1B．2C.12D.2三角函数的定义第三章三角函数、解三角形[听课记录]根据已知条件得tanα＝t2＋1t＝t＋1t≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.答案B第三章三角函数、解三角形(2)已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6第三章三角函数、解三角形[听课记录]由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin2π3＝32，故α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以α的最小正值为11π6.答案D第三章三角函数、解三角形[规律方法]定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．第三章三角函数、解三角形[跟踪训练]2．(1)已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝()A.3B．±3C.33D．±33B[由|OP|2＝x2＋34＝1，得x＝±12，tanα＝±3.]第三章三角函数、解三角形(2)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4C[由题意可知，cosα＝mm2＋9＝－45，又m0，解得m＝－4.]第三章三角函数、解三角形[典题导入](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？扇形的弧长及面积公式第三章三角函数、解三角形[听课记录](1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1，θ＝8(舍)，r＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.第三章三角函数、解三角形(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．第三章三角函数、解三角形[互动探究]若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析设圆半径为R，则圆内接正方形的对角线长为2R，∴正方形边长为2R，∴圆心角的弧度数是2RR＝2.答案2第三章三角函数、解三角形[规律方法]1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0α2π)为圆心角，S是扇形面积．第三章三角函数、解三角形[跟踪训练]3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解析设扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，根据已知条件12lR＝S扇，第三章三角函数、解三角形则扇形的周长为：l＋2R＝2S扇R＋2R≥4S扇，当且仅当2S扇R＝2R，即R＝S扇时等号成立，此时l＝2S扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．第三章三角函数、解三角形(2014·抚州一中月考)已知sinα＜sinβ，那么下列命题不成立的是()A．若α，β是第一象限角，则tanα＜tanβB．若α，β是第二象限角，则cosα＜cosβC．若α，β是第三象限角，则tanα＜tanβD．若α，β是第四象限角，则cosα＜cosβ【创新探究】三角函数线的应用第三章三角函数、解三角形【思路导析】通过画三角函数线逐项作出判断．【解析】对选项A，作出三角函数线如图，由图第三章三角函数、解三角形可知tanα＜tanβ成立；对于选项B，作出三角函数线如图，由图第三章三角函数、解三角形可知cosα＜cosβ成立；对于选项C，作出三角函数线如图，由图可知tanα＞tanβ，故选项C不成立．【答案】C第三章三角函数、解三角形【高手支招】涉及三角不等式，已知象限角比较大小问题时，直接解答抽象易错，而借助于三角函数线可直观地解决，利用时要注意准确理解并作出角在各象限内的三角函数线．同时，注意三角函数线的方向代表三角函数值的正负，其长度代表三角函数值的大小．第三章三角函数、解三角形[体验高考]1．(2011·课标全国高考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45第三章三角函数、解三角形B[设P(t，2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t＞0时，cosθ＝55；当t＜0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.]第三章三角函数、解三角形2．(2011·江苏高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝__________．解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.答案－8第三章三角函数、解三角形3．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为__________．第三章三角函数、解三角形解析利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧PA长为2，∠ABP＝21＝2.设P(x，y)，第三