2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章 第6节 双曲线

第八章平面解析几何第六节双曲线第八章平面解析几何[主干知识梳理]一、双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．差的绝对值焦点焦距第八章平面解析几何二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形第八章平面解析几何性质范围对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：顶点A1，A2A1，A2x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(－a，0)(a，0)(0，－a)(0，a)第八章平面解析几何渐近线y＝±baxy＝±abx性质离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2第八章平面解析几何性质实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长A1A22aB1B22bab第八章平面解析几何性质通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b2aa、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)第八章平面解析几何[基础自测自评]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()A.－22，0B.－52，0C.－62，0D.－3，0第八章平面解析几何C[∵双曲线方程可化为x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12.∴c2＝a2＋b2＝32，c＝62.∴左焦点坐标为－62，0.]第八章平面解析几何2．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C的方程是()A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1第八章平面解析几何B[由题意可知c＝3，a＝2，b＝c2－a2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x24－y25＝1.]第八章平面解析几何3．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48C[由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24.]第八章平面解析几何4．双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析由题意知a2＋1a＝1＋1a2＝2，解得a＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x±y＝0，即y＝±3x.答案y＝±3x第八章平面解析几何5．已知F1(0，－5)，F2(0，5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________．第八章平面解析几何解析根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，∵c＝5，a＝4，∴b＝3，e＝ca＝54，|k|＝43.∴|k|·e＝43×54＝53.答案53第八章平面解析几何[关键要点点拨]1．区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0，1)．2．渐近线与离心率：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．第八章平面解析几何[注意]当ab0时，双曲线的离心率满足1e2；当a＝b0时，e＝2(亦称为等轴双曲线)；当ba0时，e2.第八章平面解析几何3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．第八章平面解析几何[典题导入](1)(2012·湖南高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1双曲线的定义及标准方程第八章平面解析几何[听课记录]∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2，1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝25，b＝5.答案A第八章平面解析几何(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[听课记录]不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，第八章平面解析几何则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝23.答案23第八章平面解析几何[规律方法]1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．第八章平面解析几何2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．第八章平面解析几何[跟踪训练]1．(1)(2014·江南十校开学第一考)已知双曲线x29－y216＝1上一点M到A(5，0)的距离为3，则M到左焦点的距离等于()A．6B．7C．8D．9第八章平面解析几何D[x29－y216＝1的焦点为A(5，0)，F(－5，0)，故由双曲线的定义得，|MF|－|MA|＝6⇒|MF|＝9.选D.]第八章平面解析几何(2)(2014·惠州调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝410x的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为________．第八章平面解析几何解析由已知可得抛物线y2＝410x的焦点坐标为(10，0)，a2＋b2＝10.又双曲线的离心率e＝10a＝103，∴a＝3，b＝1，∴双曲线的方程为x29－y2＝1.答案x29－y2＝1第八章平面解析几何[典题导入](1)(2012·浙江高考)如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()双曲线的几何性质第八章平面解析几何A.233B.62C.2D.3第八章平面解析几何[听课记录]设双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．∵B(0，b)，∴F1B所在的直线为－xc＋yb＝1.①双曲线渐近线为y＝±bax，由y＝bax，－xc＋yb＝1，得Qacc－a，bcc－a.由y＝－bax，－xc＋yb＝1，得P－aca＋c，bca＋c，第八章平面解析几何∴PQ的中点坐标为a2cc2－a2，bc2c2－a2.由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为a2cb2，c2b.直线F1B的斜率为k＝bc，∴PQ的垂直平分线为y－c2b＝－cbx－a2cb2.令y＝0，得x＝a2cb2＋c，∴Ma2cb2＋c，0，∴|F2M|＝a2cb2.第八章平面解析几何由|MF2|＝|F1F2|得a2cb2＝a2cc2－a2＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝32，∴e＝62.答案B第八章平面解析几何(2)(2013·新课标全国Ⅰ高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x第八章平面解析几何[听课记录]因为双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又离心率为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝52，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x，选择C.答案C第八章平面解析几何[互动探究]若本例(1)条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解析根据题意知1＜ba＜3，即1＜e2－1＜3.所以2＜e＜2.即离心率的取值范围为(2，2)．第八章平面解析几何[规律方法]1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝ba(m＞0)或m＝ab，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．第八章平面解析几何[跟踪训练]2．(理)(2013·湖北高考)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x2sin2θtan2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等第八章平面解析几何D[双曲线C1的离心率e1＝c1a1＝a21＋b21a21＝cos2θ＋sin2θcos2θ＝1cosθ，双曲线C2的离心率e2＝c2a2＝a22＋b22a22＝sin2θ＋sin2θtan2θsin2θ＝1＋tan2θ＝1＋sin2θcos2θ＝1cosθ，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2a21＋b21＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθtanθ，焦距为2c2＝2a22＋b22＝2sin2θ＋sin2θtan2θ＝2tanθ，所以A、B、C均不对，故选D.]第八章平面解析几何2．(文)(2013·湖北高考)已知0＜θ＜π4，则双曲线C1：x2sin2θ－y2cos2θ＝1与C2：y2cos2θ－x2sin2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等第八章平面解析几何D[由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1，故选D.]第八章平面解析几何[典题导入](2013·大纲版全国高考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.(1)求a、b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．直线与双曲线的位置关系第八章平面解析几何[听课记录](1)由题设知ca＝3，即a2＋b2a2＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x＝±a2＋12.由题设知，2a2＋12＝6，解得a2＝1.所以a＝1，b＝22.第八章平面解析几何(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜22，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝6k2k2－8，x1·x2＝9k2＋8k2－8.于是|AF1|＝（