12 201602 中学数学研究 以拐点偏移为背景的函数导数试题命制_兼谈试题处理策略_田富德

．１０．中学数学研究２０１６第２期的形式给出，有时问题隐藏的比较泳■，需要我们去挖抛物线ｙ＝－；？２＋今■与；《轴正半轴相交于点设掘，上面的四个问题就是我们常见的几种隐形的恒２成立问题．／（ｎ）为该抛物线在点４处的切线在Ｊ轴上的截距．（４）感知：通过设置典型的高考题，驱动学生去（Ｉ）用ａ和＇表示／（ｎ）；（ＩＩ）求对所有ｎ都有触摸高考，感觉高考是怎么考的■通过所学的知识来ｆ＾ｎ）成立的ａ的最小值．解决高考题，让学生找到自信，从而更好的适应高＾Ｕ１工古土ｎ與Ａ、＊麻山缺阳沾了歧＾设计目的：对于高考，同学们通常比较惧怕不等１．（２０１０天津理）设函数／Ｕ）＝？－１，对任意式恒成立问题，通过高考题的训练，让学生明白遵从２２基本的解题原则、规律和方法才是王道，所以打牢基＊ｅ＋Ｃ〇）Ａｍ）￣４ｍ２ｆ（ｘ）＾／（Ｘ＇１｝＋础是关键，所有的问题都万变不离其宗．４／（ｍ）恒成立，则实数７？的取值范围是？总之，以“四知”引领二轮复习，以“任务驱动２．（２０１３重庆文）设０名ａ矣ｔｔ，不等式８ｘ２－法”激活教学，将教师的“导学”与学生的小组“讨（８ｓｉｎａ）＊＋Ｃ〇Ｓ２ａ＞０对ｚｅｉ？恒成立，则ａ的取值论”相结合，课堂上以小组竞争的方式解决问题，既范围为．能突出学生的主体地位，又能带动学生的学习兴趣，３．（２００８江苏卷）设函数／（＊）＝ａ＊３－３ｘ＋１，课堂气氛也能有效提高，使得高效课堂顺利的达成．若＊ｅ［－１，１］时／（＊）＞０恒成立，求实数ａ的取参考文献值范围．４．（２０１２浙江理）设《已／？，若；＾＞０时均有［（ａ［１］董荣森？以目标引领教学，以“三动”激活课堂——以一－似－１）為０，则《＝．节高三复习课“函数与方程为例”［Ｊ］？中学数学教学参５．（２０１２四川理）已知ａ为正实数，为自然数，考：上旬，２０１４（１２）：４８－５１．￡■￡■￡£ＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣ：ＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣＣｇＣ￣ｇｅ£－＆ＣＣＣＣＣＣＣｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｃｇ以柺点偏移为背景的函数导数试题命制＋——兼谈试题处理策略厦门大学附属实验中学（３６３１２３）田富德陈小燕文［１］对极值点偏移问题提出了巧妙的处理策＋－／〇两点，则的中点为略，轻松解决了一类高考题、省市质检题的压轴题，Ｕ－０、３？体现了教学中注重通性通法的解题策略，这是文（２／Ｕ））？对于－次函数／Ｕ）－＊’拐点横［１］的一大亮点．笔者将分析法解题思想渗透于本也文的自编试题之中？受到文⑴的启发，极值点偏＃偏离中问题的处理策略基于轴对称思想进行构造差函数，点？同样我们可以发现对于一般的三次函数，若其在进而逆用单调性解题．那么我们是否可以基于中心定义域内单调，其拐点也居中，没有偏离中点（若不对称思想进行构造差函数处理新的一类试题呢？本单调，其拐点也居中，本文仅探究单调函数）．然而文尝试以拐点偏移函数为背景命制新的一类函数导很多含拐点的单调函数，由于拐点左右的“增减速数试题，并给出相应的解题策略．度”不同，函数图像不具有中心对称的性质，常常有若函数／（＊）在某点Ａ：＝处，二阶导为零，三？１＋？２ｄｉ，ｍＶ－ｔｅ阶导不为零时，这点即为拐点？我憾悉的三次函ｔ￥＃２＠ｍ＾了＾的左右／（＊）＝ｘ３的拐点为原点？作直线ｙ＝／（％）＋＆及＾偏移．本文尝试以此为背景的拐点偏移问题命制相＝／（％）－ｆｔ与函数ｙ＝／Ｕ）分别交于＾（＾，／（化）关函数导数试题，并给出处理这类问题的一般策略．＊本文系２０１５年度漳州市基础教育课程教学研究立项课题《高中数学解题教学现状与优化》阶段性研究成果．２０１６年第２期中学教学研究．１１－１背景函数例２设函数／（Ｘ）＝—－＾２＋１．１．１以常见不等式“ｅ＊＆欠＋１”为背景命制试题２２构造函数／（幻的导函数／（＊）＝ｅ＊－Ｘ－１，则（Ｉ）求函数／Ｕ）的单调区间；我们可取／ｗｗ…１．（ｎ）证明：＆？且办，）＋／⑷＝〇时，２ｔ＞２．例ｉ设函数办）＝ｅ：－＾Ｈ，函数解：⑴函数／Ｗ的定义域为（〇，＋４由题／（＊）为／Ｕ）的导函数．ｘｘ（Ｉ）求函数／（＊）的单调区间和极值；＊ｅ（〇，１）时／＇（Ｘ）＞〇，有／０）单调递增；当＊ｅ（ｎ）已知函数；ｋ＝ｇ（＊）的图像与函数ｙ＝（１，＋＊）时／＇ｕ）＜〇，有／（＊）单调递减？故／（＊）／（工）的图像关于原点对称，证明：当＊＞〇时／（＊）在＊＝１取得极大值，有／（＊）矣／（Ｉ）＝〇，从而＞ｇ｛ｘ）；／（＊）在（〇，＋？）上单调递减？（瓜）如果？，且／（？）＋／（＊２）＝０，证明：（ｎ）因为＊！＃＊２，不妨设＊１＜欠２，由／（＊１）＋ｘｘ＋Ｘ２＜〇■／（＊２）＝〇及／＂（ｌ）＝〇，有＊１＜１，＊２＞１？要证尤１＋解：（Ｉ）／（＊）在（－？＞，〇）上单调递减；在（〇，％＞２，即证＊２＞２－ｈ？由（Ｉ）知／（＊）在（〇，＋＜？）＋００）上单调递增？／（〇）＝０为／（＊）极小值，无极上单调递减，故只需证＿／（々）＝／（＊２）＜／（２－大值．？），即证／（２－Ａ）＋／（？）＞０，只要证ｆ（ａ〇＝／ＴＩ、山瓶古，、＂、１２／（＊）＋／（２－幻＞０在区间（０，１）上恒成立．心）＝（ＩＩ）由题意办）＝－／（－幻＝－ｅ＋？－办）＋／（２＿幻＝—＋（２＿咖（２＿幻＿％２＋ａ：＋１，令／＾（％）＝／（％）－ｇ（ｘ）＝／（尤）＋／（－％）＝ｅ＊２％－１，ｊｃｅ（０，１］，Ｆｒ（ｘ）＝ｌｒｎ：－ｌｎ（２－ｘ）－２ｘ＋＋ｅ＾ｘ￣ｘ２－２（ｘ＾０）９Ｆｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｅ￣ｘ－２ｘｙＦｒｒ（ｘ）２９Ｆｆｌ（ｘ）＝－＋－２＝２－２奋＝ｅ＊＋ｅ－＊－２彡０？因此，ｆ＇（幻在［０，＋？）上单调’＊２－＊ｘ（２－ｘ）一递增，从而有尸（＊）多泸（０）＝０．因此，ＦＵ）在［０，－——２＝０，因此，Ｆ＇（＊）在区间（０，１］＋？）上单调递增，当＊＞〇时，有＞Ｆ（０）＝＾＋｛２－ｘ）ｙ〇，即／Ｕ）上单调递增，从而ｒ（＊）矣Ｆ，（ｌ）＝０．因此，ｆＵ）（Ｉ）由（Ｉ）知／（＊）＞〇，即／Ｗ在及上单调在区间（〇，１］上单调递减，当ｘｅ（〇，１）时，有Ｆ（ｘ）递增，且／（０）＝０？因为＃Ａ，不妨设＜Ａ，于＞＿Ｆ（１）＝０．由此得证．是有？＜０，％＞０，要证七＋％＜０，即证Ａ＜－々＿Ａ＋因为／ｕ）单调递增，故只需证＿／（＊２）＝／（々）＜点评：第（ｎ）问证＊＞２，即要证／（－＊２），即／（＊２）＋／（－＊２）＞〇，因为＊２＞〇，由＊，＋＊２，、（ｎ）知上不等式成立，从而＾＋巧＜〇成立．就是直线：ｋ＝／（ｉ）±＆（／⑴＋“／（？），点评：第（ｎｏ问证ｗ〇，即要证＜／⑴＝／（々））与函数／（＊）交点连线段中点的０．＾＾就是直线＾＝／（〇）±Ａ（／（〇）＋Ａ＝／（巧），ｆ＊２■的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐／（〇）－ａ＝／ｕ））与函数／（＊）交点连线段中点的点左偏？横坐标，不等式右边的〇恰是函数／（＊）＝ｅ＊１．３以基本不等式“＊＋丄＞０）”为背２ｘ－＊－ｉ的拐点横坐标，因此，本题本质上是证明拐点景命制试题右偏．＾构造函数／（＊）的导函数／（＊）＝２尤＋＾－４（文１．２以常见不等式“ｌｒｗ矣＊－１”为背景命制ｘ试题＞０），则我们可取／（＊）＝＊２＋２１ＩＷ－４＊．构造函数／（＊）的导函数／（＊）＝ｌｎ？＿ｚ＋ｌ，则例３设函数／（＊）＝＊２＋２１ｉｗｃ－４？；，函数／（＊）１２１为／（＊）的导函数？我们可取／Ｕ）＝＊ｌｎ＾－Ｔ＊＋Ｔ．（Ｉ）求函数／（＊）在＊＝２处的切线方程；．ｉ２．中学数学研究２０１６第２期（ｎ）证明：当？，々，且八？）＋／（＊２）＝－６区间；时／（＊，＋ｘ２）＞１．（ＩＩ）设／４（＊ｉ，／（ｈ）Ｖ，Ｂ（％／（＿？２））是／（幻的＿，Ｔ，〇２Ａ１７、图像上不同的两点，且满足／Ｕｌ）＋／（＊２）＝０，线段屏八＾ｘ仙的中点横坐标为？证明：似〇＞ｉ．ｉ＝／（２）＝１，切线方程为；＞；－ｙ－６＋２１ｎ２＝０．解：（Ｉ）依题意尽（幻＝ａ、－２ａｌｎ似，其定义（ＩＩ）当：ｅｅ［２．，＋〇〇）时／Ｕ）＝２（１－士）域为（〇，＋〇〇）．？）＝ｙ■，当尤＞〇，故，００在区间［２，＋？）上单调递增．因此，要“〇！＿）时，／〇〇＜。，办）单调递减；当“证／（？１＋欠２）＞１＝／（２），只需证＊１＋尤２＞２，即证’ａ）ｘ＞＞２￣ｘ２－（吾，＋〇〇）时，ｇ，Ｕ）＞０，ｇＵ）单调递增．因为／⑷＝２＊＋｜－４＝２（＊＋｜－２）＞０，°？１＋＊２１２即／Ｗ在（〇，＋＝〇）上单调递增，不妨知＜＊２，注（１）０＾／－〇＞１－—＞＾＊＞７－意到／（Ｉ）＝－３，及／（？）＋／（＊２）；＿６，所以＆＜巧，又依题意／（幻＝（ａ＿丄）２＞〇，即／（幻在定义１，ｊｋ２＞１？从而只要证－６－／（＊２）＝／（々）＞／（２－ｘ％），即／（２－＊２）＋／（＊２）＜－６．（＊）域上单调递增，所以要证似。＞１，只需证＿／Ｕ２）＝令丨Ｕ）＝／Ｕ）＋／（２．－＊）＝＋２１似－４＊＋／（Ａ）＞／（１＿戈２），即／（｜－巧）＋／（＊２）＜０．（＊）（２－ｘ）２＋２１ｎ（２－ｘ）－４（２－ｘ）９ｘｂ［１，＋〇〇），化简得厂（＊）＇＝２｜＞２－２＊－２＋ｌｍ；＋ｌｎ（２－＊＞］．不妨设？＜心，注意到／（ｆ）＝０，结合函数单调性，于是有Ｆ＇Ｗ＝２（２，－２＋｜－２」＾）＝２（２＊所以有ａｉ＜丄，，２＞丄．ａａ一饥１＿＊（２－：〇］在（知４）Ｉ１「＊＋（２－ａ；）ｌ２ｉ令Ｆ（年）＝／（—－＊）＋／（ｘ）＝ａ２（｜－＊）－Ｌ２」ａａ＝〇，因此，ｉ＾Ｘｘ）在区间［１，＋００）上单调递减，当ａ：２ａｌｎａ（＾－－ｘ）＋ａｘ－￣－２ａｌｎａｘ＝２ａ－ｅ（１，＋？）时，有ＦＵ）＜ｆ（ｌ）＝－６．＇％所以（＊）式成立，即有／０，＋＊２）＞１成立．１ａｉ。＾、１点评：第（ｎ）问证／（？＋＊２）＞１，由导函数单了＿厂：＿２ａｌｎ（似）＿２ａＩｎ（２＿似）’身？＊，＋ｘ２，ｘ，＋ｘ２／、１ａ２２ａ２ａ１－２ａｘ调性，可转化为证－＾—＞１．－＾－就疋直线ｙ＝Ｆ（ｘ）＝７－（２－ａ，）２＇Ｔ＋２＾＝＾＾＋／（ｌ）±／ｉ（／（ｌ）＋／ｉ＝／（ｘ２）／（ｌ）－厶＝／（々））与函３ａ２－２＜ｉｘ＿＿Ａｊａｘ－ｌ）３数／（＊）交点连线段中点的横