1.3_三角函数的有关计算-解直角三角形剖析

3.三角函数的有关计算沈阳南昌中学九年级九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系CABRt△ABC中除直角之外的五要素:三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A,∠B（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcCAsinAcosAtanBsinBcosBtancaA斜边的对边cbA斜边的邻边baAA的邻边的对边cbB斜边的对边caB斜边的邻边abBB的邻边的对边特殊角的三角函数值表三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα3004506002123332222123213由锐角的三角函数值反求锐角21Asin21Acos33Atan03023Asin06022Acos0303Atan22Asin23Acos1Atan060045045030060045∠A∠A∠A1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠B.，6,2BCACABC26解：在Rt△ABC中，∵tanB=3362BCAC∴∠B=30°30°2.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角分别是30°和60°的三角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?（精确0.1m）解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30°∴tan30°＝ADCD∴CD＝AD·tan30°＝335335∴CE＝1.7+≈4.6(m)335∴棵树大约4.6m.ABC3.如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=2，求AC的长.解：过A作AD⊥BC于D，∵在Rt△ABD中,∠B=45°,AB=2，222D45°30°2∴AD=AB·sinBsinB=ABAD∵在Rt△ACD中，∠C=30°2=2×sin45°=2∴AC=2AD=22解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45°∴CD=AD∴AD＝2+2知识的运用怎样做？体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.4.如图,∠D＝90°,∠B=30°,∠ACD=45°,BC=4cm,求AD.ABC45°30°4D┌∴BD=AD在Rt△ABD中，∠B＝30°∴tan30°=BDAD3∵BD－CD=BC,即AD－AD＝433xx3x建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)BACD40(课本17页)5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度2010年长沙CAAD33解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3∴DA＝3∴CA=在Rt△ADC中，∠CDA＝60°∴tan60°=∴BC=CA－BA=(－3)米33答：路况显示牌BC的高度是(－3)米336.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？ABCD300m200mFE解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，∠A＝45°BF＝AB·sin45°=1502在Rt△ABF中,∠CBE＝60°CE＝BC·sin60°=1003∴山高(150＋100)m237.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?α=30°β=60°120ABCD解；在Rt△ABD中，∠BAD＝30°BD＝AD·tan30°=403在Rt△ACD中,∠CAD＝60°CD＝AD·tan60°=603∴山高100m3∴BC＝BD+CD＝10038.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°解：过A作AF⊥BD于F.设AF＝x海里在Rt△ABF中,∠BAF＝60°∴x=68在Rt△ADF中，∠DAF＝30°∴DF=AF·tan30°=x33∵BF－DF=BD，即3312x33x3∴没有触礁的危险∴BF=AF·tan60°＝xxCABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.温馨提示D在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabc(必有一边)caBcbBcaBcaAcbAcaAtan,cos,sintan,cos,sin感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.(有“弦”用“弦”;无“弦”用“切”)已知斜边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知直边求斜边，计算方法要选择，正弦余弦很方便；运用正切理当然；函数关系要选好；勾股定理最方便；用除还需正余弦；能用乘法不用除.优选关系式CABabc9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？212北ABC10210F如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？解：过点C作CD⊥AB,垂足为D北ABCD21052210F∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向∴∠B=45°∵sinB=CBCD∴CD=BC·sinB=10×sin45°=10×=22∵在Rt△DAC中，sin∠DAC=ACCD2102521∴∠DAC=30°∴∠CAF=∠BAF-∠DAC=45°-30°=15°45°45°∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向25如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？北ABC解：过点A作AE⊥BC，垂足为E,E21021010设CE=x∵在Rt△BAE中，∠BAE=45°∴AE=BE=10+x∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2∴x2+(10+x)2=(10)22即：x2+10x-50=0355,35521xx(舍去)355∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向∴sin∠CAE=ACCE210355∴∠CAE≈15°45°1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a，∠A的值，则c的值为A.atanAB.asinAC.D.（）2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知，BC＝6，则AC＝，AB＝.3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；(1)∠A＝45°,a=3;(2)c=8,b=4;AacossinaA3tan4A思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？D810一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°问题如下:沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB.DABC45°60°2009沈阳中考16．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为m．2008沈阳中考14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为米．BCDEA51253要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子.问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m)这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求BC的长角α越大,攀上的高度就越高.ACB075sinABBC要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子.问:(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6,,求锐角α的度数?ACB角α是否在50°≤α≤75°内0664.0ABACcos例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）图19.4.41.2022.7仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）图19.4.41.2022.7α＝22°E例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?α=30°β=60°120ABCD建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)BACD40(课本93页)例3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）65°34°PBCA•指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.•如图：点A在O的北偏东30°•点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角例3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）65°34°PBCA801.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.2.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．ABabcC