《函数的单调性与导数》练习题教师用

《函数的单调性与导数》练习题1.下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案]B2.设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析f(x)在(a，b)内有f′(x)0，则f(x)在(a，b)内单调递减；反过来，f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.∴f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．答案A3.函数32()31fxxx是减函数的区间为()A.(2,)B.(,2)C.(,0)Ｄ.(0,2)4.函数xexxf)3()(的单调递增区间是（）A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(5.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.[答案]6,236.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数f′(x)的图象可能是()7.已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0∴f′(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf′(x)0，∴f′(x)0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D8.已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0B．a－4C．a≥0或a≤－4D．a0或a－4答案：C9.设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，()0,gx，当0x时，()()()()0,fxgxfxgx且(3)0,f则不等式()0()fxgx的解集是（）A．),3()0,3(B．)3,0()0,3(C．),3()3,(D．)3,0()3,([答案]D10.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)≤f(b)B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a)D．bf(a)≤af(b)[答案]C[解析]∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－f(x)x，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．11.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.12.已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.13．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g′(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.14.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.15.函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.16.已知对任意实数x，有()()()()fxfxgxgx，，且0x时，()0()0fxgx，，则0x时（）A.()0()0fxgx，B.()0()0fxgx，C.()0()0fxgx，D.()0()0fxgx，二、填空题17.函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是________18.若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是___三.解答题19.已知函数32()1fxxaxx，aR.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．20.a为实数，函数3221fxxaxax在,0和1,都是增函数，求a的取值范围。21.已知ba,为常数，且0a，函数2)(,ln)(efxaxbaxxf（1）求实数b的值；（2）求函数)(xf的单调区间。解：（1）由2,2)(bef得.（2）由（1）可得,ln2)(xaxaxxf从而,lnxaxf）（‘因为0a，故：当0a时，由0)('xf得,1x由0)('xf得,10x当0a时，由0)('xf得,10x由0)('xf得,1x综上，当0a时，函数)(xf的单调递增区间为),1(，单调递减区间为)1,0(；当0a时，函数)(xf的单调递增区间为)1,0(，单调递减区间为),1(.22.已知函数).0(221)(,ln)(2axaxxgxxf（1）若函数)()()(xgxfxh存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若函数)()()(xgxfxh在]4,1[上单调递减，求a的取值范围.解：（1）),,0(,221ln)(2xxaxxxh所以.21)('axxxh因为)(xh在),0(上存在单调递减区间，所以当),0(x时，021axx有解，即xxa212有解.设min2)(,11)(xGaxxxG所以只要即可.而，）（111)(2xxG所以，1)(minxG所以1a。故a的取值范围是1a.（2）因为)(xh在]4,1[上单调递减，所以时]4,1[x，021)('axxxh恒成立，即xxa212恒成立，所以1)11()(,)(2maxxxGxGa而.因为]4,1[x，所以],1,41[1x所以67)4(167)(maxaxxG，所以此时，当167a时，xxxxxxxxxh16)4)(47(163271621671)(2'因为]4,1[x，所以,016)4)(47()('xxxxh即)(xh在]4,1[上为减函数.故实数a的取值范围是167a.23.已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；24.设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．25.已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.26.已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a。讨论函数()fx的单调性；27.设函数2e()xfxxaxa，其中a为实数．（I）若()fx的定义域为R，求a的取值范围；（II）当()fx的定义域为R时，求()fx的单调减区间.答案：解：（Ⅰ）()fx的定义域为R，20xaxa恒成立，240aa，04a，即当04a时()fx的定义域为R．（Ⅱ）22(2)e()()xxxafxxaxa，令()0fx≤，得(2)0xxa≤．由()0fx，得0x或2xa，又04a，02a时，由()0fx得02xa；当2a时，()0fx≥；当24a时，由()0fx得20ax，即当02a时，()fx的单调减区间为(02)a，；当24a时，()fx的单调减区间为(20)a，．28.设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．