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《函数的单调性与导数》练习题1.下列命题成立的是()A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x∈(a,b),都有f′(x)0B.若在(a,b)内对任何x都有f′(x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f′(x)必存在D.若f′(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数[答案]B2.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)0是f(x)在(a,b)内单调递减的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析f(x)在(a,b)内有f′(x)0,则f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a,b)内单调递减,则f′(x)≤0.∴f′(x)0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.答案A3.函数32()31fxxx是减函数的区间为()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)4.函数xexxf)3()(的单调递增区间是()A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],则b=________,c=________.[答案]6,236.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如右图,则导函数f′(x)的图象可能是()7.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0x1时xf′(x)0∴f′(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf′(x)0,∴f′(x)0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D8.已知函数f(x)=x2+2x+alnx,若函数f(x)在(0,1)上单调,则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a-4C.a≥0或a≤-4D.a0或a-4答案:C9.设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数,()0,gx,当0x时,()()()()0,fxgxfxgx且(3)0,f则不等式()0()fxgx的解集是()A.),3()0,3(B.)3,0()0,3(C.),3()3,(D.)3,0()3,([答案]D10.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若ab,则必有()A.af(a)≤f(b)B.bf(b)≤f(a)C.af(b)≤bf(a)D.bf(a)≤af(b)[答案]C[解析]∵xf′(x)+f(x)≤0,且x0,f(x)≥0,∴f′(x)≤-f(x)x,即f(x)在(0,+∞)上是减函数,又0<a<b,∴af(b)≤bf(a).11.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有()A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)2f(1)[答案]C[解析]由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.12.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.[答案]b-1或b2[解析]若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2.13.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a的取值范围为________.[答案]a≥1[解析]由已知a>1+lnxx在区间(1,+∞)内恒成立.设g(x)=1+lnxx,则g′(x)=-lnxx2<0(x>1),∴g(x)=1+lnxx在区间(1,+∞)内单调递减,∴g(x)<g(1),∵g(1)=1,∴1+lnxx<1在区间(1,+∞)内恒成立,∴a≥1.14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.[答案][3,+∞)[解析]y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax0在区间(0,2)内恒成立,即a32x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.15.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是()A.-π,-π2和0,π2B.-π2,0和0,π2C.-π,-π2和π2,πD.-π2,0和π2,π[答案]A[解析]y′=xcosx,当-πx-π2时,cosx0,∴y′=xcosx0,当0xπ2时,cosx0,∴y′=xcosx0.16.已知对任意实数x,有()()()()fxfxgxgx,,且0x时,()0()0fxgx,,则0x时()A.()0()0fxgx,B.()0()0fxgx,C.()0()0fxgx,D.()0()0fxgx,二、填空题17.函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是________18.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是___三.解答题19.已知函数32()1fxxaxx,aR.(Ⅰ)讨论函数()fx的单调区间;(Ⅱ)设函数()fx在区间2133,内是减函数,求a的取值范围.20.a为实数,函数3221fxxaxax在,0和1,都是增函数,求a的取值范围。21.已知ba,为常数,且0a,函数2)(,ln)(efxaxbaxxf(1)求实数b的值;(2)求函数)(xf的单调区间。解:(1)由2,2)(bef得.(2)由(1)可得,ln2)(xaxaxxf从而,lnxaxf)(‘因为0a,故:当0a时,由0)('xf得,1x由0)('xf得,10x当0a时,由0)('xf得,10x由0)('xf得,1x综上,当0a时,函数)(xf的单调递增区间为),1(,单调递减区间为)1,0(;当0a时,函数)(xf的单调递增区间为)1,0(,单调递减区间为),1(.22.已知函数).0(221)(,ln)(2axaxxgxxf(1)若函数)()()(xgxfxh存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数)()()(xgxfxh在]4,1[上单调递减,求a的取值范围.解:(1)),,0(,221ln)(2xxaxxxh所以.21)('axxxh因为)(xh在),0(上存在单调递减区间,所以当),0(x时,021axx有解,即xxa212有解.设min2)(,11)(xGaxxxG所以只要即可.而,)(111)(2xxG所以,1)(minxG所以1a。故a的取值范围是1a.(2)因为)(xh在]4,1[上单调递减,所以时]4,1[x,021)('axxxh恒成立,即xxa212恒成立,所以1)11()(,)(2maxxxGxGa而.因为]4,1[x,所以],1,41[1x所以67)4(167)(maxaxxG,所以此时,当167a时,xxxxxxxxxh16)4)(47(163271621671)(2'因为]4,1[x,所以,016)4)(47()('xxxxh即)(xh在]4,1[上为减函数.故实数a的取值范围是167a.23.已知函数21()(21)2ln()2fxaxaxxaR.(Ⅰ)若曲线()yfx在1x和3x处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求()fx的单调区间;24.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.[解析](1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f′(1)=-12,即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12,解得a=1,b=-3.(2)由a=1,b=-3得f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f′(x)0,解得x-1或x3;又令f′(x)0,解得-1x3.所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.25.已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax,讨论()fx的单调性.26.已知函数f(x)=21x2-ax+(a-1)lnx,1a。讨论函数()fx的单调性;27.设函数2e()xfxxaxa,其中a为实数.(I)若()fx的定义域为R,求a的取值范围;(II)当()fx的定义域为R时,求()fx的单调减区间.答案:解:(Ⅰ)()fx的定义域为R,20xaxa恒成立,240aa,04a,即当04a时()fx的定义域为R.(Ⅱ)22(2)e()()xxxafxxaxa,令()0fx≤,得(2)0xxa≤.由()0fx,得0x或2xa,又04a,02a时,由()0fx得02xa;当2a时,()0fx≥;当24a时,由()0fx得20ax,即当02a时,()fx的单调减区间为(02)a,;当24a时,()fx的单调减区间为(20)a,.28.设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.[解析](1)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2,f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x∈(-∞,-1)时,f′(x)0;当x∈(-1,0)时,f′(x)0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)0.故f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax,则g′(x)=ex-a.若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g′(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时g(x)≥0,即f(x)≥0.当a1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时g(x)0,即f(x)0.综合得a的取值范围为(-∞,1].
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