1.3 方阵的行列式

方阵的行列式P24-11.3方阵的行列式二阶行列式的定义n阶行列式的定义行列式的性质行列式的计算*拉普拉斯（Laplace）定理方阵的行列式P24-2一、二阶行列式的定义dcbaA1.Def.:设矩阵dcbaA，则方阵A的行列式，且记为detA,或bcad=A方阵的行列式P24-3划去A中元素aij所在的行、所在的列的元素，A中剩下的1.余子式和代数余子式设A=(aij)是n阶矩阵，的元素按照原来的排列顺序所组成的n–1阶矩阵的行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij.令Aij=(-1)i+jMij称Aij为元素aij的代数余子式(i,j=1,…,n)二、n阶行列式的定义方阵的行列式P24-42.Def.:n阶矩阵A=(aij)的行列式(简称为n阶行列式)defai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=njijijAa1式中Ai1,Ai2,…,Ain是A的第i行各元素的代数余子式。二、n阶行列式的定义AAA（该定义也称为按第i行展开）A，且注:(1)行列式是一个数，而n阶矩阵是一个数表方阵的行列式P24-52.Def.:n阶矩阵A=(aij)的行列式(简称为n阶行列式)defai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=njijijAa1二、n阶行列式的定义AAA（该定义也称为按第i行展开）A，且注:(1)行列式是一个数，而n阶矩阵是一个数表a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=niijijAa1defA(2)还可以按第j列展开）A方阵的行列式P24-6二、n阶行列式的定义注:(1)行列式是一个数，而n阶矩阵是一个数表a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=niijijAa1defA(2)还可以按第j列展开）A(3)三阶行列式独有的对角线展开法333231232221131211aaaaaaaaa方阵的行列式P24-7二、n阶行列式的定义(3)三阶行列式独有的对角线展开法333231232221131211aaaaaaaaa例1设231021101A，求detA方阵的行列式P24-8二、n阶行列式的定义a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnjA(3)三阶行列式独有的对角线展开法ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAinAnnnnaaaaaa21222111000)1(：计算三角形行列式的值例2nnnnaaaaaa000)2(22211211特例：对角形行列式方阵的行列式P24-9性质1|AT|=|A|该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的行列式有关行的性质对列也成立性质2交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号三、行列式性质推论若行列式中有两行(列)的元素对应相等，则该行列式等于0用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以该行列式性质3该性质3也可以叙述为：行列式某行(列)的公因子可因子可以提到行列式外面方阵的行列式P24-10性质1|AT|=|A|性质2交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号推论若行列式中有两行(列)的元素对应相等，则该行列式等于0用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以该行列式性质3该性质3也可以叙述为：行列式某行(列)的公因子可因子可以提到行列式外面若行列式中某两行(列)的元素对应成比例，则该行列式等于0推论2若行列式中某一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0推论1方阵的行列式P24-11性质1|AT|=|A|性质2交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以该行列式性质3若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项之和，则该行列式等于两个行列式之和性质4一行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式的值不变性质5方阵的行列式P24-12性质1|AT|=|A|性质2交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以该行列式性质3若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项之和，则该行列式等于两个行列式之和性质4一行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式的值不变性质5例3计算行列式1111111210110123＝－4方阵的行列式P24-13性质2交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以该行列式性质3若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项之和，则该行列式等于两个行列式之和性质4一行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式的值不变性质5性质6行列式中某一行(列)的所有元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即)(02211kiAaAaAakninkiki)(02211ljAaAaAanlnjljlj方阵的行列式P24-14性质6行列式中某一行(列)的所有元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即)(02211kiAaAaAakninkiki)(02211ljAaAaAanlnjljlj定理:对于n阶行列式，有ikikAAanjkjij,0,)1(1ljljAAaniilij,0,)2(1方阵的行列式P24-15四、行列式的计算例4计算行列式3351110243152113)1(D方阵的行列式P24-16四、行列式的计算例4计算行列式yyxxD1111111111111111)2(方阵的行列式P24-17四、行列式的计算例4计算行列式)()3(baabbbbabbbbabbbbaD方阵的行列式P24-18四、行列式的计算例4计算行列式maaaaaaaaa333231232221131211333131321311111223212122432432432aaaaaaaaaaaa(4)已知求方阵的行列式P24-19四、行列式的计算例2计算行列式)1(000000000000)5(nabbababaDn方阵的行列式P24-20四、行列式的计算例2计算行列式),,1,0(1111111111111111)6(321niaaaaaDinn)11(121niinaaaa方阵的行列式P24-211.Def.:若k阶子式M在A中所在的行和列的标号分别为i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk,则在M的余子式N前添加符号)()(2121)1(kkjjjiii后，所得到的n–k阶行列式，称为k阶子式M的代数余子式.子式M的代数余子式记为B，即NBkkjjjiii)()(2121)1(五、拉普拉斯定理方阵的行列式P24-22组成的所有k阶子式Mi（i=1,2,…,t）与它们即kntttBMBMBMAC,2211五、拉普拉斯定理在中任意选定k行(1kn)，由这k行元素A的代数余子式Bi(i=1,2,…,t)乘积之和等于,A例利用拉普拉斯定理，计算4阶行列式1200250011121113方阵的行列式P24-23组成的所有k阶子式Mi（i=1,2,…,t）与它们即kntttBMBMBMAC,2211五、拉普拉斯定理在中任意选定k行(1kn)，由这k行元素A的代数余子式Bi(i=1,2,…,t)乘积之和等于,ABAABnBA阶方阵，则为和设推论：推广：方阵的行列式P24-24y作业:第34页:第1题之（6）；第3题之（1）；第4题之（4）；第6题之（5）；第7题之（1）。