正、余弦函数的对称性、最值

正弦、余弦函数的性质对称性和最值x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间)](22,22[Zkkk都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间3[2,2]()22kkkZ上都是减函数，其值从1减小到－1。复习：正弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，[2,2]kk其值从－1增大到1；在每个闭区间[2,2]kk都是增函数，复习：余弦函数的单调性(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311最大值：0x当时，有最大值1k2最小值：x当时，有最小值-1k2x22322523yO23225311(一)探究：②余弦函数的最大值和最小值例1、已知函数y=3cosx-2,求该函数的最值？变式1：若，则函数的最值为？4,0x最大值为1；最小值为-5。最大值为1，最小值为2223例2、求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.[解](1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．跟踪训练1求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．解y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.∴当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝4；当sinx＝－1时，即x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－4.所以ymax＝4，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}；ymin＝－4，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}．1.4.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2若函数y＝a－bcosx(b0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y＝－4acosbx的最值和最小正周期．解∵y＝a－bcosx(b0)，∴ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12.由a＋b＝32a－b＝－12，解得a＝12b＝1.∴y＝－4acosbx＝－2cosx，∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π.1.4.2（二）研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3、设函数y=acosx+b(a，b为常数且a0)的最大值为1，最小值为–7，那么acosx+bsinx的最大值为()A、3B、4C、5D、6x22322523yO23225311对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ(二)探究：①正弦函数的对称性35,2222，，x(,0),(0,0),(,0),(2,0),0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23225311(二)探究：②余弦函数的对称性例3、求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx解（1）对称轴的横坐标x满足sin(2x+π/3)=±1232xk解得：对称轴为直线,122xkkZ（2）对称中心的横坐标为y的零点23xk对称中心为62xk(,0),Z62kk跟踪训练、(1)、函数的一条对称轴为，则_________。(2)、函数的图象关于原点成中心对称图形，则__________。]2[),3cos(2xy12x)3cos(xyZkk,24(3)关于函数，下列命题：①由可得必是的整数倍；②的表达式可改写成为；③的图像关于点对称；④的图像关于直线对称。其正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题序号都填上)。0)()(21xfxf))(32sin(4)(Rxxxf21xx)62cos(4xy)0,6(6x)(xfy)(xfy)(xfy②③