步步高2015一轮复习 第四章 4.4 三角函数的图像和性质

§4.4三角函数的图象和性质数学RB（理）第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，，(3π2，0)，(2π，1)．知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习(3π2，－1)(π，－1)基础知识题型分类思想方法练出高分知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域图象RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分值域R对称性对称轴：；对称中心：对称轴：；对称中心：对称中心：周期知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习[－1,1][－1,1]x＝kπ＋π2(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)(kπ＋π2，0)(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)2ππ2π基础知识题型分类思想方法练出高分单调性单调增区间；单调减区间单调增区间；单调减区间单调增区间奇偶性知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇函数偶函数奇函数基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345C基础知识·自主学习{x|－3≤x－π2或0xπ2}(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×夯实基础突破疑难夯基释疑BB基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一求三角函数的定义域和最值【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识．题型一求三角函数的定义域和最值思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x≤9，题型一求三角函数的定义域和最值∴sinπ6x－π3∈－32，1.∴y∈－3，2，思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴ymax＋ymin＝2－3.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0x≠π2＋kπ，k∈Z，题型一求三角函数的定义域和最值即x≠π4＋kπ，k∈Zx≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}．思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．题型分类·深度剖析题型一求三角函数的定义域和最值A{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，思维启迪解析答案思维升华(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Zx≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}．k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；题型一求三角函数的定义域和最值思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．A{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．题型一求三角函数的定义域和最值思维启迪解析答案思维升华【例1】(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为_____________________________．A{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为__________________________．(2)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54]解析(1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，题型分类·深度剖析即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}．{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1(1)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为__________________________．(2)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54]{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)y＝sin2x＋sinx－1，令t＝sinx，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，题型分类·深度剖析画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－12及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈[－54，1]．C基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二三角函数的单调性、周期性【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)化为y＝－sin2x－π3，再求单调区间及周期．(2)由y＝tanx的图象→y＝|tanx|的图象→求单调性及周期．思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)y＝－sin2x－π3，它的增区间是y＝sin2x－π3的减区间，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z；增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性最小正周期T＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期T＝π.【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二三角函数的单调性、周期性(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．【例2】写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及最大、最小值．解∵π3＋4x＋π6－4x＝π2，题型分类·深度剖析∴cos4x－π6＝cosπ6－4x＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.∴y＝2sin4x＋π3，周期T＝2π4＝π2.当－π2＋2kπ≤4x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，∴函数的递增区间为－5π24＋kπ2，π24＋kπ2(k∈Z)．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练2求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及最大、最小值．当π2＋2kπ≤4x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递减，题型分类·深度剖析∴函数的递减区间为π24＋kπ2，7π24＋kπ2(k∈Z)．当