高三数学一轮总复习 94直线与圆、圆与圆的位置关系课件 北师大版

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考一轮总复习1.第九章平面解析几何2第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系3高考目标课前自主预习思想方法点拨4课堂典例讲练3课后强化作业5高考目标考纲解读1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考向预测1．直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题．2．本部分在高考试题中多为选择题和填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题．课前自主预习知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切drΔ0相离drΔ0＝＝2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1＋r2无解相外切d＝r1＋r2一解相交|r1－r2|dr1＋r2两解相内切(r1≠r2)一解内含(r1≠r2)无解d＝|r1－r2|0≤d|r1－r2|3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．直角三角形4．P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r0)上，则以P为切点的切线方程为.x0x＋y0y＝r21.(2012·陕西理，4)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能基础自测[答案]A[解析]本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－30，所以点P(3,0)在圆内，故过点P(3,0)的直线l与圆相交．2．(2012·广东文，8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．1[答案]B[解析]本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝|－5|32＋42＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3，∴弦长|AB|＝23.3．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是()A．相交B．内切C．外切D．内含[答案]B[解析]两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.∵|O1O2|＝1＝r2－r1，∴两圆内切．4．(2012·郑州模拟)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)，作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则△PAB的外接圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5[答案]D[解析]作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上，故圆心为(2,1)，半径为r＝5，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.5．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．[答案]x2＋y2＝2[解析]圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2.∴圆的方程为x2＋y2＝2.6．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.[答案]±147[解析]由已知可求出圆心O到直线l的距离d＝2，即|3k|1＋k2＝2，解得k＝±147.7．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线方程．[解析]当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.∵圆心为(1,1)，半径长r＝1，∴|k－1＋3－2k|k2＋－12＝1，∴k＝34.∴所求切线方程为y－3＝34(x－2)，即3x－4y＋6＝0.当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2.综上可知，圆的切线方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.课堂典例讲练[例1]已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离．[分析](1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小．直线与圆的位置关系[解析](1)证明：配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.设圆心为(x，y)，则x＝3m，y＝m－1，消去m，得l：x－3y－3＝0，则不论m为何值，圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．(2)设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l1的距离为d＝|3m－3m－1＋b|10＝|3＋b|10.∵圆的半径为r＝5，∴当dr，即－510－3b510－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当dr，即b－510－3或b510－3时，直线与圆相离．[点评]判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大．2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系，这种方法的特点是计算量较小．(文)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点(a，b)与圆的位置关系()A．圆上B．圆外C．圆内D．不确定[答案]B[解析]圆心到直线的距离d＝1a2＋b21，∴a2＋b21，∴点(a，b)在圆外．(理)点M(a，b)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋by＝r2与圆的交点个数为()A．0B．1C．2D．需要讨论确定[答案]A[解析]由题意知a2＋b2r2，所以圆心(0,0)到直线ax＋by－r2＝0的距离d＝r2a2＋b2r，即直线与圆相离，无交点.[例2]已知点P(0,5)及圆Cx2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．[分析](1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．弦长问题[解析](1)解法1：如图所示，AB＝43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝23，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2.当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：|－2k－6＋5|k2＋－12＝2，得k＝34.k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.解法2：当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5，联立直线与圆的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2，②由弦长公式得1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝43，将②式代入，解得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋20＝0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即CD→·PD→＝0，(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.[点评]在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，则x21＋y21＝r2，x22＋y22＝r2，∴k＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－x0y0.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析]假设存在且令l为y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)，则AB中点N是两直线x－y＋m＝0与y＋2＝－(x－1)的交点即N(－m＋12，m－12)．以AB为直径的圆过原点，∴|AN|＝|ON|，又CN⊥AB，|CN|＝|1＋2＋m|2，∴|AN|＝CA2－CN2＝9－3＋m22，又|ON|＝－m＋122＋m－122，由|AN|＝|ON|得m＝1或m＝－4，∴存在直线l方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0.[点评]设l：y＝x＋m与圆方程联立，其根为A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，由条件OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，可求m＝1或－4.[例3]已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0与C2：x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，当m为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．圆与圆的位置关系[解析]欲求m的值，只要列出关于m的一个等式或不等式就可以了.因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.把圆C1与圆C2的方程变形(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－m)2＝4.故两圆的半径分别为3和2，圆心距为|C1C2|＝m＋12＋－2－m2＝2m2＋6m＋5.(1)若两圆外离，则|C1C2|3＋2，即2m2＋6m＋55.两边平方整理得m2＋3m－100，解之得m2或m－5.∴当m2或m－5时，两圆外离.(2)若两圆外切，则|C1C2|＝3＋2，即m2＋3m－10＝0.解之得m＝2或m＝－5.∴当m＝2或m＝－5时，两圆外切.(3)若两圆相交，则3－2|C1C2|3＋2，即2m2＋6m＋55，2m2＋6m＋51.解之得，当－5m－2或－1m2时，两圆相交.(4)若两圆内切，则|C1C2|＝3－2，即2m2＋6m＋5＝1.解之得m＝－1或m＝－2.∴当m＝－1或m＝－2时，两圆内切.(5)若两圆内含，则0|C1C2|3－2，即2m2＋6m＋51，2m2＋6m＋50，解之得－2m－1.∴当－2m－1时，两圆内含．[点评]判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，但有时不能得到准确结论．两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]B[解析]由题知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，则圆心C1(－1，－1)，C2：(x－2)2＋(y－1