高考数学总复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理双基自测 理(新版)苏教版必修1

教育资源第六节正弦定理和余弦定理考纲传真内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用√教育资源1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcosC变形形式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角教育资源图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．教育资源1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，∠A∠B必有sinAsinB．()(2)在△ABC中的六个量中，若已知三个量，则可求另外三个量．()(3)在△ABC中，若b2＋c2a2，则△ABC为锐角三角形．()(4)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B＝45°或∠B＝135°.()[解析](1)中，sinAsinB⇔ab⇔∠A∠B，(1)正确．在(2)中，已知三个量中至少有一个边，才可求另外三个量，(2)不正确．在(3)中，A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形．(3)不正确．在(4)中，ab⇔∠B∠A，则∠B＝45°，(4)不正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.[解析]由正弦定理，知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝10sin60°15＝33.∵ab且∠A＝60°，∴∠B∠A＝60°，∴cosB0，∴cosB＝63.教育资源[答案]633．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13则△ABC的面积为________．[解析]由cosC＝13得sinC＝1－cos2C＝1－132＝223.∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.[答案]434．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.[解析]因为bcosC＋ccosB＝2b，所以b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2b，化简可得ab＝2.[答案]25．在△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有________个．[解析]∵asinBba，∴符合条件的三角形有两个．教育资源[答案]2(见学生用书第68页)考向1判定三角形的形状【典例1】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴bc＝－2bccosA，cosA＝－12.又0＜A＜π，∴A＝23π.(2)由(1)知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∴sin2A＝(sinB＋sinC)2－sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，且sinA＝32，教育资源∴sinBsinC＝14，因此sinB＝sinC＝12.又B、C∈0，π2，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．【规律方法】1．(1)先用正弦定理化边角混合式为边的关系式，再用余弦定理求角．(2)利用正弦定理把(1)中关系式a2＝b2＋c2＋bc化为角的关系式．按角判断三角形形状．2．(1)判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．【变式训练1】已知△ABC的内角A，B，C成等差数列且A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的有________(填所有正确命题序号)．①B＝π3；②若a，b，c成等比数列，则△ABC为等边三角形；③若a＝2c，则△ABC为锐角三角形；④若tanA＋tanC＋30，则△ABC为钝角三角形．[解析]对于①，∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，故①正确．对于②由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac即(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝π3，∴△ABC为等边三角形，故②正确．教育资源对于③，若a＝2c，则b2＝a2＋c2－2accosB＝4c2＋c2－2c2＝3c2，∴b＝3c，此时满足a2＝b2＋c2说明△ABC是直角三角形，故③不正确．对于④由B＝π3得A＋C＝2π3.∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)＝－3(1－tanAtanC)＝－3＋3tanAtanC.∴tanA＋tanC＋3＝3tanAtanC.若tanA＋tanC＋30则tanAtanC0.∴tanA，tanC同号，又在△ABC中，A，C不能同为钝角．∴tanA，tanC只能同正，故A、C都是锐角．∴△ABC为锐角三角形，故④不正确．[答案]①②教育资源考向2与三角形面积有关的问题【典例2】(1)(2014·课标全国卷Ⅱ改编)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝________.(2)(2014·江西高考改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是________．[解析](1)S△ABC＝12AB·BCsinB＝12×1×2sinB＝12，∴sinB＝22，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1×2×－22＝5，∴AC＝5，符号题意．(2)c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①②得ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.[答案](1)5(2)332,【规律方法】教育资源1．(1)先利用面积公式求B，再由余弦定理求AC，但要注意B为钝角．(2)由已知条件及余弦定理，先求出ab，进而利用面积公式求出面积．2．(1)面积公式S＝12absinC涉及边、角，容易和正、余弦定理联系起来．(2)选择余弦定理和面积公式时，一般应选择角确定的一组．【变式训练2】(2013·课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值.[解](1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.教育资源考向3利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)命题视角解三角形是高考考查的重要内容，主要命题角度有：(1)已知边、角关系求边或角；(2)与三角函数、平面向量综合；(3)与数列、不等式综合．【典例3】(1)(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．(2)(2014·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.①求a的值；②求sinA＋π4的值．[思路点拨](1)先用正弦定理化角的关系式为边的关系式，结合余弦定理用边表示cosC，然后用基本不等式求最值．(2)①用正、余弦定理化角的关系式为边的关系式，列出关于a的方程．②用余弦定理求cosA，进而利用平方关系求sinA.[解析](1)∵sinA＋2sinB＝2sinC，∴由正弦定理可得a＋2b＝2c.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝4a2＋4b2－c28ab＝4a2＋4b2－a＋2b28ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a＝2b时等号成立，故cosC的最小值为6－24.教育资源[答案]6－24(2)①因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.②由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.【通关锦囊】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．3．为顺利解决一些综合性问题应熟记一些常用定义定理及公式等，如平面向量数量积的定义式及坐标式，完全平方公式、正、余弦定理、三角变换公式，基本不等式等．【变式训练3】(1)(2014·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.教育资源①若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；②若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．(2)(2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.①求a，c的值；②求sin(A－B)的值．[解](1)①∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．②∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为12.(2)①由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，教育资源所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.②在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227掌握1条规律在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.利用2种途