2014届高考数学一轮复习课件：第三章第6课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单

第6课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用2014高考导航考纲展示备考指南1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点.2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点.3.主要以选择题、解答题为主.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT＝____f＝1T＝____ωx＋φφ2πωω2π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x__________________________________ωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φω3.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤课前热身1．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()A．2、1π、－π4B．2、12π、－π4C．2、1π、－π8D．2、12π、－π8答案：A答案：A2．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为()A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx3．(2012·高考安徽卷)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位解析：选C.∵y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12，∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位即可,故选C.4．用五点法作函数y＝sin(x－π6)在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：(π6，0)(2π3，1)(7π6，0)(5π3，－1)(13π6，0)5．图中的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(A0，ω0，|φ|π2)，则ω＝________，φ＝________.解析：设周期为T，则34T＝56π－π12＝34π，∴T＝π，∴ω＝2.∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3.答案：2π3考点探究讲练互动例1考点突破考点1三角函数的图象及其变换设函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．【解】(1)f(x)＝sinωx＋3cosωx＝2(12sinωx＋32cosωx)＝2sin(ωx＋π3)．又∵T＝π，∴2πω＝π，则ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋π3)．∴函数f(x)＝sinωx＋3cosωx的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图.2x＋π30π2π3π22πx－π6π12π37π125π6y＝2sin(2x＋π3)020－20(3)把y＝sinx图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图象，再把y＝sin(x＋π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x＋π3)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图象．【思维升华】(1)用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式；②求出周期T＝2πω；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．(2)图象变换法平移变换：①沿x轴平移，按“左加、右减”法则；②沿y轴平移，按“上加、下减”法则．伸缩变换：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)．跟踪训练1．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3)若f(x)＞22，求x的取值范围．解：(1)周期T＝2πω＝π，∴ω＝2.∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，∴sinφ＝－32.∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)f(x)＝cos2x－π3，列表如下：2x－π3－π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππf(x)1210－1012图象如图：(3)cos2x－π3＞22，∴2kπ－π4＜2x－π3＜2kπ＋π4，k∈Z，2kπ＋π12＜2x＜2kπ＋712π，k∈Z，kπ＋π24＜x＜kπ＋724π，k∈Z，∴x的取值范围是{x|kπ＋π24＜x＜kπ＋724π，k∈Z}．例2考点2由图象求函数解析式(2012·高考湖南卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．【解】(1)由题设图象知，周期T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点5π12，0在函数图象上，所以Asin2×5π12＋φ＝0，即sin5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，解得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)g(x)＝2sin2x－π12＋π6－2sin2x＋π12＋π6＝2sin2x－2sin2x＋π3＝2sin2x－212sin2x＋32cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12,k∈Z.【规律小结】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.跟踪训练2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象经过点(0,1)，且一个最高点的坐标为(1,2)，则ω的最小值是________．解析：因为最高点的纵坐标为2，所以A＝2.又因为图象经过点(0,1)，所以2sinφ＝1，即sinφ＝12.又0＜φ＜π2，所以φ＝π6.又最高点的坐标为(1,2)，所以2sinω＋π6＝2，解得ω＝2kπ＋π3(k∈Z)，所以ω的最小值是π3.答案：π3考点3三角函数模型的简单应用(2013·金丽衢十二校联考)已知我省某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为()A．10小时B．8小时C．6小时D．4小时例3【解析】依题意得A＋b＝1.5－A＋b＝0.52πω＝12，A＝0.5，b＝1，ω＝π6，所以y＝0.5cosπ6t＋1.令y＝0.5cosπ6t＋1＞1.25(t∈[0,24])得cosπ6t＞12.又t∈[0,24]，π6t∈[0,4π]，因此0≤π6t＜π3或5π3＜π6t≤2π或2π≤π6t＜2π＋π3或2π＋5π3＜π6t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12≤t＜14或22＜t≤24，在一日内，海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．【答案】B【名师点评】三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学问题，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是迅速建模．跟踪训练3．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：连接MP(图略)．依题意，有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，∴ω＝π6，∴y＝23sinπ6x.当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝－42＋32＝5.即M，P两点相距5km.1．五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象的基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对自变量x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．方法感悟2．由图象确定函数解析式由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．名师讲坛精彩呈现例(2012·高考天津卷)将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是()A.13B．1C.53D．2易错警示忽视函数自变量系数对图象变换的影响致误【答案】D【常见错误】(1)解答本题易错点未能按照“左加、右减”的原则变换．(2)函数向右平移π4个单位易被误写成(ωx－π4)的形式．【解析】将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移π4个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f(x)＝sinω(x－π4)＝sin(ωx－ωπ4)．又因为函数图象过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sinωπ2＝0，所以ωπ2＝kπ，即ω＝2k(k∈Z)，因为ω＞0，所以ω的最小值为2，选择D.【防范措施】(1)熟记由y＝sinx的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的方法步骤，明确既可先