四川理工学院过程设备设计第二章(3)

2020/2/12第二章压力容器应力分析第三节平板应力分析教学重点：（1）圆平板对称弯曲微分方程；（2）承受均布载荷时圆平板中的应力。教学难点：圆平板对称弯曲微分方程的推导。2020/2/12第二章压力容器应力分析平封头：常压容器、高压容器储槽底板：可以是各种形状换热器管板：薄管板、厚管板板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板反应器触媒床支承板等2020/2/12第二章压力容器应力分析第三节平板应力分析一、概述(一)薄板及变形特征2.0Dt：薄板2.0/t：小挠度板一般认为平板的变形为双向弯曲，我们主要讨论圆形薄板在轴向载荷下小挠度应力和变形。2020/2/12第二章压力容器应力分析(二)载荷和内力挠度大，面内载荷也会产生弯曲内力载荷平面载荷横向载荷复合载荷——两种载荷共同作用（作用于板中面内的载荷）（垂直于板中面的载荷）内力薄膜力—弯曲内力—中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形2020/2/12第二章压力容器应力分析(二)基本假设－KiRchhoff(克希霍夫)假设1、板的中间面在变形后成为一弹性曲面，但不伸长，不缩短。属纯弯曲问题，板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中间面法线的挠度；2、变形前垂直作用于板面的直线变形后仍是一直线且垂直于中间面，其本身不发生伸长、缩短，法线上各点的距离不变；3、平面于中面的各层材料互不挤压，沿z方向的应力（垂直于板面的正应力）远远小于r、θ方向，可忽略不计。仅存在横向载荷时才是正确的，两种载荷同时存在时，需考虑面内力对板弯曲的影响直法线假设——故可忽略平行于板面各层纤维间的剪切应变和剪切应力。不挤压假设——故可忽略沿板厚方向的挤压应变和应力。2020/2/12第二章压力容器应力分析二、圆板轴对称弯曲的基本方程（一）圆板中力的分析分析模型见图2-28半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz内力：Mr、Mθ、Qr三个内力分量在r、θ、z圆柱坐标系中轴对称性几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中挠度只是r的函数，而与θ无关。w2020/2/12第二章压力容器应力分析图2-28圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力挠度微分方程的建立：微元体用半径为r和r+dr的两个圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截出板上一微元体如图2－28（a）、（b）基于平衡、几何、物理方程t/2t/2zr+drddzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr2020/2/12第二章压力容器应力分析t/2t/2zr+drddzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr图2-28圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力（a）2020/2/12第二章压力容器应力分析t/2t/2zr+drddzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr微元体内力径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr(单位长度上的力矩)周向：Mθ、Mθ(单位长度上的力矩)横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr(单位长度上的剪力)微元体外力上表面P=prdθdr图2-28圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力(c)二、圆板轴对称弯曲的基本方程－基于平衡方程、几何方程和物理方程2020/2/12第二章压力容器应力分析(一)平衡方程(2-54)0rQMrdrdMMrrr微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零021)2sin(2))((02drrdPdrrdQddrMrdMddrrdrdMMMzrrrrT可得2020/2/12第二章压力容器应力分析ddrr)(drdMMrrrdMrdrrdQr221drrdPz：周向弯矩在切线T上的投影；和：径向弯矩矢量在切线上T的投影：外力对T轴的力矩t/2t/2zr+drddzQrdrtrQr+PMMrMdPTMMQroora.b.c.d.pzMrrdQrdrdrdrMr+dMrdrdMrMr+drdrdrQr+dQrdryRr(一)平衡方程)2sin(2ddrM：剪力对T轴的力矩；0rrdQQdrTTdr因为经过轴，所以对轴的力矩为2020/2/12第二章压力容器应力分析drdrrn1nzABmm1+ddnn1ABzzm1mza.b.rww取径向截面上与中面相距为z，半径为r与两点A与B构成的微段dw是变形后中面的挠度变化drrdrAB图2－29圆平板对称弯曲的变形关系(二)几何方程（应变和挠度关系方程）2020/2/12第二章压力容器应力分析)()sin(dzdzB的位移是微段的径向应变即为B的位移减去A的位移除以原始长度dr。zA的位移是drdzdrzdzr)(微段的径向应变为drdrrn1nzABmm1+ddnn1ABzzm1mza.b.rwwrA点处的半径变化前为过A点的周向应变为A点现在位置的周长减去A点原来位置的周长除以原来位置的周长rzrrrz222)(过A点的周向应变为rzAA为点处的半径变化后)'(Az的位移是2020/2/12第二章压力容器应力分析drdzdrzdzr)(rzrrrz222)(微段的径向应变为过A点的周向应变为因为是小挠度，(dw与z方向相反，为负）drd挠曲面在半径方向的斜率为，而由于是小挠度，所以drdtgdrdtg(二)几何方程（应变和挠度关系方程）drdrzdrdzr，22代入上式后得：drd挠曲面2020/2/12第二章压力容器应力分析(三)物理方程(广义虎克定律))(1)(122rrrEE，根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为rrrEE22112020/2/12第二章压力容器应力分析用几何方程drdrzdrdzr，22代入上式得：)1(1222drddrdrEz)(1222drdrdrdEzr(四)圆平板弯曲微分方程（挠度）22drddrdr和与Z无关，所以和在板厚方向呈线性分布2020/2/12第二章压力容器应力分析通过圆平板上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和Mθ表示成ω的形式。由上面的物理方程可知，应力沿厚度方向即z向均为线性分布，其线性分布力系即为弯矩。单位长度的弯矩为：dzzdrdrdrdEzdzMttttrr2222)(12222dzzdrddrdrEzdzMtttt2222)1(12222MrMrzzoorrt/2t/2ldzz图2-30圆平板内的应力与内力之间的关系1rdzz：该区域径向力数值：力臂长度2020/2/12第二章压力容器应力分析dzzdrdrdrdEzdzMttttrr2222)(12222dzzdrddrdrEzdzMtttt2222)1(12222式中,它与圆平板的几何尺寸及材料性能有关，称为圆平板的抗弯刚度。)1(12'23EtD)('22drdrdrdDMr)1('22drddrdrDM2－582020/2/12第二章压力容器应力分析将弯矩方程2－58代入平衡方程0rQMrdrdMMrrr'1122233DQdrdrdrdrdrdr得：再化简可得：'1DQdrdrdrdrdrdr这就是受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程。Qr值可依不同载荷情况用静力法求得2020/2/12第二章压力容器应力分析zprMM此时，若已知轴对称载荷就能由挠曲微分方程解得转角和挠度再由2-58求得和最后进而求得σr、σθztMrr312ztM312(2-59)就可依不同载荷情况用静力法求得Qr值)('22drdrdrdDMr)1('22drddrdrDM2020/2/12第二章压力容器应力分析ztMrr312ztM312(2-59)上式代入2－57)(1222drdrdrdEzr)1(1222drddrdrEz)('22drdrdrdDMr)1('22drddrdrDM2－582020/2/12第二章压力容器应力分析'1122233DQdrdrdrdrdrdr'1DQdrdrdrdrdrdr这就是受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程。总结：drdrzdrdzr，22几何方程)(1)(122rrrEE，物理方程代入)('22drdrdrdDMr)1('22drddrdrDM021)2sin(2))((2drrdPdrrdQddrMrdMddrrdrdMMzrrrr2020/2/12第二章压力容器应力分析三、圆平板中的应力一承受均布载荷时圆平板中的应力作用在半径为r的圆柱截面上的剪力为：222prrPrQr将Qr值代入弯曲微分方程'21Dprdrdrdrdrdrd32314ln4'64CrCrCDprC2=0图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定rMrQrQrMrOr33144'64CrCDpr)1(12'23EtD得到中面在弯曲后的挠度得到挠曲面在半径方向的斜率rCrCDprdrdw2132162020/2/12第二章压力容器应力分析C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2＝0，于是上述方程改写为：321413464216CrCDprwrCDprdrdw式中C1、C3由边界条件确定2020/2/12第二章压力容器应力分析下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）Rpa.b.RzrrRRzp图2-33承受均布横向载荷的圆板周边固支圆平板周边简支圆平板周边固支圆平板周边简支圆平板2020/2/12第二章压力容器应力分析1、周边固支圆平板：支承处没有挠度和转角。即有弯矩存在。00drdRr，时，解得周边固支平板的斜率和挠度方程：22'16rRDprdrd222'64rRDp(2－64),821DpRCDpRC6443将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：2020/2/12第二章压力容器应力分析将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入2-58，便由求得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：3111631162222rRpMrRpMr由弯曲应力计算式，可得r处上、下板面的应力表达式：318322262rRtpMtrr3118322262rRtpMt2tz(2－65)2020/2/12第二章压力容器应力分析可发现：最大应力在板边缘上下表面，最大正应力为支承处的径向应力，值为22max43)(tpRr周边固支圆平板下平面的应力分布如图2020/2/12第二章