【成才之路】高中数学必修一新课标人教版 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 对数函数及其性质

第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学2．2.2对数函数及其性质第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学一、某种细胞分裂时，每分裂一次，由一个细胞分裂为2个，分裂x次后，得到的细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数表达式为.反过来，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，这个函数的表达式为.y＝2xx＝log2y第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学二、阅读教材P70～71，回答下列问题：1．对数函数形如的函数叫做对数函数．y＝logax(a0且a≠1，x0)第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学4．当a1时，y＝logax的图象是上升的，即函数为增函数．当0a1时，y＝logax的图象是下降的，即函数为减函数．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[解析]由条件知0a2－11.∴1a22，∴－2a－1或1a2.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(3)已知0a1，logamlogan0，则()A．1nmB．1mnC．mn1D．nm1[答案]A[解析]由0a1知，函数y＝logax为减函数．又由logamloganloga1，得mn1，故应选A.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学5．若a1，则当x∈(0,1)时，y∈，当x∈(1，＋∞)时，y∈．若0a1，则当x∈时，y0，当x∈时，y0.(1)指出下列值的符号：(－∞，0)(0，＋∞)(0,1)(1，＋∞)log23log212log315log1314ln5lg0.03答案：log23、log315、log1314、ln5为正，其余为负第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(2)比较下列各组值的大小，用“”或“”号填空．①log20.1log20.3②log0.32log0.33③lglg④ln1.2lg⑤log23log43第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学本节重点：对数函数的图象和性质，结合函数图象认识、理解、记忆和运用对数函数的性质．本节难点：理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分0a1和a1不同条件下的性质．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学1．要牢记对数函数定义域的限制．2．有关对数型数值的大小比较问题：①同底时(如log35与log34)用单调性．③也可以借助中间量进行比较或作差、作商进行比较．②真数相同时，(如log32与log232)可利用图象比较，或先判断符号．由正负区分大小，同号的再利用logab与logba互为倒数转化为同底的进行比较．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[例1]若指数函数y＝ax当x0时有0y1，那么在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图象是()第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学如右图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝logcx，④y＝logdx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[答案]B[解析]方法1：对数函数的图象分布与底数a的关系是第一象限内逆时针a值由大到小，故badc，∴选B.方法2：在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知cd1ab.[点评]两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[例2]求下列函数的定义域：y＝1log2(x＋1)－3；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[解析](1)要使函数有意义，则有x＋10，log2(x＋1)－3≠0，即x－1且x≠7.故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．(2)要使函数有意义，则有3x－20，2x－10，2x－1≠1，解得x23且x≠1.故所求的定义域为(23，1)∪(1，＋∞)．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学求下列函数的定义域：(1)y＝log2(x－1)2；(2)y＝.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[解析](1)要使函数有意义，须(x－1)20，∴x≠1，∴定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．(2)要使函数有意义，须1－3x0，1－3x≠1.，∴x13且x≠0，∴定义域为{x∈R|x13且x≠0}.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[例3]比较下列各数的大小(1)log0.52.7与log0.52.8；(2)log25与log75；(3)log35与log64.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[分析]对于(1)，由于底数相同，可用对数函数单调性比较．对于(2)可根据在同一坐标系中y＝log2x与y＝log3x的图象比较大小．对于(3)，由于底数、真数都不相等，就不能利用函数的单调性和图象比较大小，这时可化同底或同真，也可借助中间量比较大小．[解析](1)考查函数y＝log0.5x，因为它的底数00.51，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是：log0.52.7log0.52.8.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(2)考查对数函数y＝log2x和y＝log7x的图象，如下图当x1时，y＝log2x的图象在y＝log7x图象上方．∴当x＝5时，∴log25log75.(此题也可用换底公式来解．)(3)∵log35log33＝1，log64log66＝1.∴log35log64.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学总结评述：(1)是利用对数函数的单调性比较两个数的大小，底数范围未明确指定时，要对底数进行讨论来比较两个对数的大小，例如比较loga3和loga2的大小，要讨论a1和0a1两种情况．对于(3)就不能直接利用对数函数的单调性比较大小，这时可在两个数中间插入一个已知数(如1或0等)间接比较两个对数的大小．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(1)已知log0.7(2m)log0.7(m－1)，则m的取值范围是________．(2)已知logm5.4logn5.4，则m与n的大小关系是________．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[答案](1)m1(2)1mn或0mn1或0n1m[解析](1)考察函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是减函数．因为log0.7(2m)log0.7(m－1)，所以2mm－10.由2mm－1m－10得m1.(2)由logm5.4logn5.4，可得1log5.4m1log5.4n，∵y＝log5.4x是增函数，故有：第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(1)m1，n1时，log5.4m0，log5.4n0，∵1log5.4m1log5.4n，∴log5.4mlog5.4n，∴mn.(2)0m1,0n1时，log5.4m0，log5.4n0，由1log5.4m1log5.4n可得log5.4mlog5.4n，∴mn.(3)m1,0n1时，log5.4m0，log5.4n0，则1log5.4m1log5.4n恒成立，∴mn.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学(4)0m1，n1时，∵log5.4m0，而log5.4n0，而1log5.4m1log5.4n不成立．总之，m与n的关系是：1mn或0mn1或0n1m.点评：利用换底公式变形的目的在于化为同底，讨论中应注意m、n的范围，故分4种情况．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[例4]求函数y＝log12(3－2x－x2)的值域和单调区间[分析]这是由对数函数与二次函数构成的复合函数性质的讨论，解答这类问题，首先应求出函数的定义域，一切讨论都在定义域的限制下进行；然后利用复合函数的单调性判定方法和值域求法来求值域与单调区间，如果要求证明单调性时，一般用定义证明．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[解析]由3－2x－x20得－3x1.令t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4∈(0,4]．(1)y＝log12t在(0,4]上为减函数，∴y≥－2，又当x∈(－3，－1]时，t＝3－2x－x2为增函数，x∈[－1,1)时，t＝3－2x－x2为减函数，∴函数y＝log12(3－2x－x2)的单增区间为[－1,1)单减区间为(－3，－1]，值域为[－2，＋∞)．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学求函数y＝log2(3－2x－x2)的单调区间和值域．[解析]y＝log2t在(0,4]上为增函数，∴y≤2.又当x∈(－3，－1]时，t＝3－2x－x2为增函数，x∈[－1,1)时，t＝3－2x－x2为减函数，∴函数y＝log2(3－2x－x2)的增区间为(－3，－1]，减区间为[－1,1)；值域为(－∞，2]．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[例5]求函数y＝的定义域．[错解]要使函数有意义，应有log12x－1≥0，∴log12x≥1，∵y＝log12x为减函数，∴x≤12，∴函数的定义域为(－∞，12]．第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学[辨析]解决有关对数式的问题时，一定要牢记真数大于0，底数大于0且不等于1的限制条件，本题中，若logx有意义应有x0.[正解]要使函数有意义，须log12x－1≥0，∴log12x≥1，∴0x≤12.∴定义域为0，12.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学一、选择题1．下列函数是对数函数的是()A．y＝logax2(a0，a≠1，a为常数)C．y＝loga2x(a0，a≠1，a为常数)D．y＝loga|x|(a0，a≠1，a为常数)[答案]C[解析]由对数函数定义知选C.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学2．已知a0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是()[答案]B[解析]由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)否定A、C，又由B、D中对数函数图象知a1，因此否定D，故选B.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学3．函数y＝log12x，x∈(0,8]的值域是()A．[－3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，－3]D．(－∞，3][答案]A[解析]∵0x≤8，∴log12x≥－3，故选A.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学4．如是对数函数y＝logax的图象，已知a取值分别为c1、c2和c3，则以下正确的是()第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学A．c1c2c3B．c2c1c3C．c3c2c1D．c1c3c2[答案]A[解析]由对数函数图象知c1c21c3，故选A.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学5．已知f(x)＝lg(x2－4)的定义域是集合M，g(x)＝lg(x＋2)＋lg(x－2)的定义域为集合N，则M、N关系为()[答案]B[解析]M＝{x|x2－40}＝{x|x2或x－2}N＝{x|x2且x－2}＝{x|x2}故NM，选B.第二章基本初等函数（Ⅰ）人教A版数学6．函数f(x)＝logax(0a≠1)对于任意正实数x、y都有()A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)[答案]B第二章基本初等函数（Ⅰ）