[数学]高中数学函数的值域

941开平方AB3－32－21－1300450600900求正弦AB21222311－12－23－3求平方AB149123乘以2AB123456请思考并分析右边给出的对应关系:(1)一对多(2)一对一(3)多对一(4)一对一一、映射：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记作：BAf:A中的元素x称为原像,xxB中的对应元素y称为x的像.xx说明：（1）这两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其它集合，这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的。其中f表示具体的对应法则，可以用文字叙述；（2）集合A中的任何一个元素都有像，并且象是唯一的;（3）不要求集合B中每一个元素都有原像，即B中可能有些元素不是集合A中的元素的像；例1、下列对应是不是A到B的映射？1A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}，f:乘2加12A=N+，B={0,1}，f:x除以2得的余数3A=R+，B=R，f:求平方根4A={x|0≤x1}，B={y|y≥1}f:取倒数解：3不是。B中有两个元素与A中一个元素对应4不是。A中元素0在B中无元素与之对应ss•函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射。•函数概念又可以叙述为：设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫做A到B的函数。•在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域。（2）函数与映射有什么区别与联系？例二求像与原像：(1)从R到R*的映射f：x→|x|+1，则R中的元素-1在R*中的像是____,R*中的元素4中R中的原像是_______.(2)在给定的映射f：（x，y）→（x+y，x-y）下,则点（1，2）在f下的像是_________,点（1，2）在f下的原像是___________.2±3（3，-1）)21,23(函数值域的求法1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？复习的值域是什么？）反比例函数)0(3kxky的值域是什么？二次函数)0()42acbxaxy。且答：0yRyy答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区间表示。2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别是什么？答：都是R。。时为；时为答：abacyyaabacyya44044022求函数值域没有通用的方法和固定的模式。只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。无论采用什么方法求函数的值域，均应优先考虑定义域。f(x)=ax2+bx+c(x∈R)判别式a0a0二次函数的图像△0△=0△0最值当x=时,y最大值=当x=时,y最小值=ab2abac442abac442ab2例题1：求f(x)=x2-2x-3①x∈[-1，0]，②x∈[2，3]，③x∈[-1，2]的最值xyo-11-33对称轴对称轴x=-a210图（2）对称轴对称轴x=-a210图（1）mnmnmn图（3）mn图（4）根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质，通过观察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。——常用于一些解析式结构比较简单的函数。方法一直接法例题2：求下列函数的值域：;1)1xy;2)22xy;21)3xy424)22yxx。；；；答：,2)4,0)32,)2,1)1求下列函数的值域：;2415)1xxy。22)22xxy通过把已知函数（或其部分）配成完全平方，再利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。——常用于二次函数及与其有关的函数。方法三配方法把已知函数分离成一个常数与另一个函数的和，从而求得函数值域的方法叫分离常数法。——常用于分子分母都是一次式的分式函数。方法二分离常数法例题3说明：分子分母都是一次式的分式函数可以分离成一个常数与一个反比例型函数的和。解析：211xyx启示：让我们先看看如何求函数的值域。110,22,11yyxx不能为那么中。且的值域为即是说函数2112yRyyxxy。）于是有：45)24(2745244101)24(4524151yxxxxxy。且故所求函数的值域为45yRyy(0)kykx由反比例函数的值域知，211211xyxx因为＝。所以用配方法解2）得：2220xx由得的。别式法或图象法）求得通过配方法（也可用判的值域是由二次函数)0(2acbxaxy启示220(1)33x所以。。30y。故所求函数的值域为3,0213133(1)0xx当时，因为1313x。也可以用逆求法解例1的1）题：（直接法——用不等式性质、非负数性质）。即函数的值域为)1,1[。而11211212011222xxx（分离常数法），或12111222xxxy。得：先解出1101101122yyyyyxx的值域：再如求1122xxy）。（此法也叫反函数法，即而45054yy。得解出由54122415yyxxxxy数学小博士出新招：acyRyy且（1）（由启示1、例1的1）和题组3的1）归纳总结）一4。。则且____________________2ayRyy的值域为）的结论解答）函数）用（（xaxy21312。的值域为函数__________________)0(acbaxdcxy数学小博士考考你：（抢答）例4通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。——常用于部分根式函数。方法四换元法xxy142解：令一）（换元升次）函数中含二次根式，要设法转化。解析：2101txtx4)0(42)1(22422tttty求下列函数的值域，；1)1xxy。，答：1。223)222xxxxy(1)(2)1(12)(1)(2)1xxxyxxxxx（2）答：且。且31,1yyRyy数学小博士考考你：题组2：求下列函数的值域；)0(2)1()12xxy；11)2xxy;25)32xy。221)4xy。答：21,0)4;5,0)3;0)2;,3)10,2答案0,5答案32yyRy答案且题组3：求下列函数的值域：（每组选答一题）;1232)1xxy;4)22xxy。3425)32xxy例2、求在上的最值。2()23fxxax[0,1]xmaxmin(0)3(1)4yfyfamaxmin(1)4(0)3yfayf对称轴对称轴x=-a210图（1）对称轴对称轴x=-a210图（2）第一类：：函数对称轴不固定，区间固定，1、由图（1）当对称轴x=a≥11、由图（2）当对称轴x=a≤0例2、求在上的最值。2()23fxxax3、由图（3）得：当102amax2min(1)42()3yfayfaa4、由图（4）得：当112amax2min(0)3()3yfyfaa对称轴对称轴x=-a21/210图（3）对称轴对称轴x=-a21/210图（4）[0,1]x练习2：已知函数y=x2-2ax-2+a,x∈[0,1]时函数最小值为-2，求a.对称轴对称轴x=-a210图（1）对称轴对称轴x=-a210图（2）图3解:对称轴x=1,抛物线开口向上例3求y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值。2yxo13a∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+31.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，第2类:函数对称轴固定，动区间∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+3,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2当x=0时，ymax=3yxo1322a解:对称轴：x=1,抛物线开口向上例3求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。2.当1a2时1.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，,函数在[0,1]上单调递减,在[1，a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax=a2-2a+3yxo132a2例3求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值。3.当a≥2时,函数在[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,∴当x=1时,ymin=2当x=0时，ymax=3解:对称轴：x=1,抛物线开口向上1.当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x=0时，ymax=3当x=a时，ymin=a2-2a+32.当1a2时思考：已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值3,最小值2，求a的范围。yxo1322练习：求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]2a故a-1,-,∴对称轴在x=-的右边.2a2121∴(1)当-1≤a时,即a≥0时,由二次函数图象2a可知:ymax=f()=2a4a24a22axyo-1a(2)当a时,即-1a0时,2a综上所述:当-1a0时,ymax=0当a≥0时,ymax=练习：求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]2a故a-1,-,∴对称轴在x=-的右边.2a2121∴(1)当-1≤a时,即a≥0时,由二次函数图象2a可知:ymax=f()=2a4a2(2)当a时,即-1a0时,2a4a24a22aaxyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0