不定积分习题与答案

1不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）2xdx２）xxdx2３）dxx2)2(４）dxxx221５）dxxxx32532６）dxxxx22sincos2cos７）dxxex)32(８）dxxxx)11(2２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx3)23(２）332xdx３）dtttsin４）)ln(lnlnxxxdx５）xxdxsincos６）xxeedx７）dxxx)cos(2８）dxxx4313９）dxxx3cossin10）dxxx249111）122xdx12）dxx3cos13)xdxx3cos2sin14)xdxxsectan315)dxxx23916)dxxx22sin4cos3117)dxxx2arccos211018)dxxxx)1(arctan23、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx211２）dxxsin３）dxxx42４）)0(,222adxxax５）32)1(xdx６）xdx21７）21xxdx８）211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs２）xdxarcsin３）xdxxln2４）dxxex2sin2５）xdxxarctan2６）xdxxcos2７）xdx2ln８）dxxx2cos22５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx33２）dxxxx1033223）)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。2、已知一个函数)(xF的导函数为211x，且当1x时函数值为23，试求此函数。33、证明：若cxFdxxf)()(，则)0(,)(1)(acbaxFadxbaxf。4、设)(xf的一个原函数为xxsin，求dxxfx)(。5、求下列不定积分１）dxx2cos2２）dxx2sin1３）dxxx211arctan４）dxxxx11５）))((2222bxaxdx６）dxxaxx27）dxxxxln1ln8）dxxxex232arctan)1(（Ｃ）求以下积分１）dxexexx12)xxdxsin2)2sin(３）dxeexx2arctan４）dxxx4351５）dxxxx185６）dxxxxxcossincossin５、（１）用倍角公式：2cos12cos2xx（２）注意0sincosxx或0sincosxx两种情况。（３）利用)cot(11,cot1arctan2xarcddxxxarcx。（４）先分子有理化，在分开作三角代换。（５）化为部分分式之和后积分。4（６）可令tax2sin2。（７）可令,sin)(2tabax则tabxb2cos)(。（８）令txln1。（９）分部积分后移项，整理。（１０）凑xearctan后分部积分，再移项，整理。（１１）令tx2tan。（１２）变形为4)2(23xxxdx后，令txx23，再由2211tx，两端微分得tdtdxx2)2(12。（Ｃ）1）解：令1xeu，则duuudxux2212),1ln(所以原式duuuuuduu222214)1ln(2)1ln(2cuuuuarctan44)1ln(22ceeexxxx1arctan414122）解：方法一：原式2cos2tan)2(tan412cos2sin)2(41)cos1(sin223xxxdxxxdxxdxcxxxdxx2tanln412tan81)2(tan2tan2tan14122方法二：令tx2tan5方法三：变形为)cos1)(cos1(2sin2xxxdx，然后令uxcos再化成部分分式积分。3）解：原式)(arctan212xxede])1()(arctan[21222xxxxxeeedee（令uex）])1(arctan[21222uudueexx]1arctan[21222uduudueexxceeeexxxxarctanarctan2124）解：原式)](11)(11[31)(13134334333433xdxxdxxxdxx)]1()1()1()1([3134133433xdxxdxcxx433473)1(94)1(2145）解：原式2)()(2122222443xxxxddxxxxx，令22xxucuuudu22ln2412212cxxxx1212ln24124246）解：原式dxxxxxcossin11cossin221dxxxdxxxxxcossin121cossin)cos(sin2126)4sin()4(221)cos(sin21xxdxx)4(cos1)4cos(221)cos(sin212xxdxx)4cos(])4cos(11)4cos(11[241)cos(sin21xdxxxxcxxxx)4cos(1)4cos(1ln241)cos(sin21