无穷大与无穷小

教学过程:1、复习引入复习函数极限的定义及性质2、讲解新课2.1无穷小量2.1.1无穷小量的定义定义：若在自变量x的某一变化过程中，函数)(xf的极限为零，则把函数)(xf称为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小。例如：,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注意：（1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆。（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。例1：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。（1）11xy（2）12xy…………………………装………………………订………………………线…………………………（3）xy2（4）xy)41(解：(1)011limxx,时的无穷小是当函数xxy11（2）0)12(lim21xx，时的无穷小是当函数2112xxy(3)02limxx,时的无穷小是当函数xyx2（4）041limxx，时的无穷小是当函数xyx412.1.2无穷小与函数极限的关系定理1),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小。证明：充分性：,)(lim0Axfxx设,)()(Axfx令,0)(lim0xxx则有).()(xAxf必要性：),()(xAxf设,)(0时的无穷小是当其中xxx))((lim)(lim00xAxfxxxx则)(lim0xAxx例：当x时，将函数xxxf1)(写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。2.1.3无穷小的运算性质:性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷…………………………装………………………订………………………线…………………………小。注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小。是无穷小，时例如nn1,,.11...11lim不是无穷小但个nnnnn性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。推论2常数与无穷小的乘积是无穷小。推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小。xxxxx1arctan,1sin,0,2时当例如都是无穷小求下列极限xxxsinlim.1解：因为xx1lim=0，而1sinx即xsin有界由无穷小性质得原式=0xexxcoslim.2解：xxelim0,1cosx∴原式=02.2无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大定义2若在自变量x的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数)(xf当0xx(或x)…………………………装………………………订………………………线…………………………时为无穷大,记作).)(lim()(lim0xfxfxxx或特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;.)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxx（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.但不是无穷大是一个无界变量时当例如,1sin1,0,xxyx分析：(1)取kx),3,2,1,0(221kk,22)(kxyk.)(,Mxykk充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(kkxk取,,kxk充分大时当kkxyk2sin2)(但.0M不是无穷大。2.3无穷小与无穷大的关系定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小，恒不为零的无穷小的倒数为无穷大意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论。例1.11lim1xx求解：.0)1(lim1xx…………………………装………………………订………………………线……………………………………………………装………………………订………………………线…………………………由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式=例2指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。2)1(xy解：因为0x时，02x，所以0x时，2x是无穷小；因为x时，2x，所以x时，2x是无穷大；11)2(xy解：因为x时，011x，所以x时，11x是无穷小因为1x时，11x，所以1x时，11x是无穷大xy1)3(解：因为0x时，x1，所以0x时，x1是正无穷大因为x时，01x，所以x时，x1是无穷小。练习指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小1)1(xy…………………………装………………………订………………………线…………………………31)2(xy11)3(xy2.4无穷小的比较定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，即0lim0lim，(1)如果0lim，那么称是的高阶无穷小；(2)如果lim，那么称是的低阶无穷小；(3)如果)0(limcc，那么称是的同阶无穷小；特别是当1c时，即当1lim时，则称与是等价无穷小,记作：。例1选择题（1）当0x时，变量2x是变量x3的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：03lim3lim)1(020xxxxx,A选（2）当0x时，变量x3是变量x2的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：2323lim)2(0xxx，C选…………………………装………………………订………………………线…………………………【补充】等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设常用等价无穷小:,0时当x221~cos1,1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxexxxxxxx例1.cos12tanlim20xxx求解：.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。例2.arcsinsin)1(lim0xxxx求解：.~arcsin,~sin,0xxxxx时当xxxx)1(lim0原式)1(lim0xx.1注意：不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换。例3.2sinsintanlim30xxxx求…………………………装………………………订………………………线…………………………错解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0（）解：,0时当x,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx,21~3x330)2(21limxxx原式.1613.课堂小结(1)无穷大与无穷小的定义及关系(2)无穷小的性质(3)无穷小的比较4.课后作业习题2-3习题2-4习题2-7山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线…………………………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线…………………………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线…………………………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线…………………………