3.5 函数的实际应用

数学学案基础模块．上册§3.5函数的实际应用（一）、学法指导函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中的许（1）自主或小组合作预习教材P58，P60的内容；（2）本学时的重点是培养应用函数知识分析、解决问题的能力；难点是根据图表信息建立函数关系式。（3）学习时要正确理解题意，善于转化问题，建立常规的数学模型进行分析，培养转化思想和数形结合的能力.第一学时（二）课堂探究1.探究问题：【探究1】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的函数关系？请指出其中的自变量，因变量及函数的定义域和值域.（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少？如果不施用氮肥呢？（3）根据表格中的数据，说明氮肥的施用量为多少比较合适？（4）简要说明氮肥的施用量对土豆的影响.答案：（1）上表反映了土豆的产量（单位：t/hm2）和氮肥的施用量（单位：kg/hm2）两个变量之间的函数关系.氮肥的施用量（单位：kg/hm2）是自变量，土豆的产量（单位：t/hm2）是因变量，函数的定义域是[0,471]和值域[15.2,43.5].（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是32.3t/hm2.不施用氮肥的产量为15.2t/hm2.（3）根据表格中的数据，说明氮肥的施用量为336kg/hm2.（4）土豆的产量先随着氮肥施用量的增加而增加，当氮肥施用量为336kg/hm2时土豆的产量达到一个最大值43.5t/hm2后，土豆的产量又随着氮肥施用量的减少而减少.【探究2】一辆客车在运营过程中会与很多“数量”发生关系，比如车辆行驶的速度、时间、路程，耗费的油量，乘客的数量，乘车的票价，车主收取的票额，车辆行驶过程中缴纳的过路费，加油的数量、费用，加油站储油罐的体积、储油罐中的油量，等等.请你寻找上述数量之间可能存在的函数关系，选择适当的方法表示它们，并与同伴交流.2．知识链接：图表信息题是通过图象、图形或表格等形式给出信息的一种题型.主要有：（1）函数类图表信息题：函数图象能反映函数定义域、值域、单调性、奇偶性(对称性)、特殊点(交点、边界点、最值点)等性态，在解答时应从这些方面加以分析，充分应用图象信息，并注意与方程、不等式联系起来正确求解.（2）非函数类图形信息题：图形具有多样性直观化的特征，图形信息题是一类极富思考性、挑战性和趣味性的问题.充分挖掘图形内涵，全方位审视图形，全面掌握图形所提供的信息，是解决此类图形信息题的关键.（3）表格信息题：表格能集中给出解题信息，简洁明了.理解表中内容，根据数据特征找出数量之间的规律，进行计算或推理，是解表格信息题的关键.（4）条形图形信息题：随着新教材增加了《概率统计》，条形图形在问题中出现的机会也增多了.条形图形能直观反映各种数据信息的统计，具有可比较性、规律性.理解图形内容，找出变化趋势和规律，是解答条形图形信息题的关键.3．拓展练习例1一辆汽车从甲地出发驶往乙地，稍事休息后又返回甲地.下图表示了该车的行驶过程.其中，x表示车辆的行驶时间，y表示车辆与甲地之间的距离.根据图象提供的信息回答下列问题：（1）乙地距离甲地多远？该车从甲地到乙地花了多少时间？（2）图中的AB段表示了什么信息？（3）该车从甲地驶往乙地的速度与从乙地返回甲地的速度相比，哪个更快？答案：由题目给出的信息和图象可知，OA段表示该车从甲地驶往乙地的过程，而线段BC表示该车从乙地返回甲地的过程.所以：（1）点A的纵坐标200（km）即为甲地到乙地的距离，它的横坐标2（h）即为车辆行驶的时间.即甲地据乙地200km，该车从甲地到乙地花了2h.（2）图中的A，B两点的纵坐标相同，结合题目已知信息可知：该车在乙地停了1h.（3）点C的横坐标5.5表示车辆从甲地出发，到达乙地后又回到甲地共花了5.5h.结合（1）、（2）的结果可知，从乙地返回甲地共花了5.5-2-2=2.5（h）.因此，从甲地驶往乙地的速度更快,例2如下图是某种新药在实验药效时得到每毫升血液中含药量（即药效）y（μg/mL）随着服药后时间x（h）变化的图象.根据图象提供的信息回答下列问题：（1）服药后药效的上升速度与衰减速度哪个大？（2）服药后什么时间药效最大？（3）此药的效果最长可以保持大约多少时间？答案：（1）由此图象可知，在折线的上升过程中，平均每小时上升量为7，而在折线的下降过程中，平均每小时下降量为7/5，所以药效的上升速度大于衰减速度.（2）由图象可知，折线上点的坐标在x=1时所对应的y值最大.所以服药后1h药效最大.（3）有图象可知，除原点外折线与x轴交点的横坐标约为6.2，所以，此药的效果最长可以保持约6.2小时.4．当堂训练:（1）幸福村村办工厂今年前五个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的函数图象如图3所示,则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量逐月减少；B.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量与3月持平；C.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产；D.1月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产.D(2)某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如表:印数x（册）500080001000015000……成本y（元）28500360004100053500……答案：①；②能印该读物12800册.1600025xy①经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的x取值范围）.②如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？第二学时（一）学法指导（1）自主或小组合作预习教材P59的内容（2）本节课的重点是分段函数的概念；难点是分段函数的表示及其图象；（3）本节内容的学习要善用分类思想，学会把定义域分成几段，在每一段用不同的解析式表示函数；同时要注意联系实际，结合生活实例构建数学模型进行分析，体现数学源于生活，又服务于生活，以此感受到数学就在我们身边.（二）课堂探究1．探究问题【探究】某市为了增强居民的节水意识，规定每户居民每月用水若不超过5吨，按1元/吨收费，若超过5吨不超过10吨，则全部用水以2元/吨收费，若超过10吨，则全部用水以3元/x（吨）表示某户居民的月用水量，y（元）表示该户居民应交水费，（1）试写出y与x之间的函数关系，并作出它的函数图象；（2）若该用户某月用了12.5吨水，则应付多少元水费?答案：（1）（2）y=3×12.5=37.5（元）10310525＞xx＜xxxxy2．知识链接：（1）分段函数的概念：若在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，以含有x的不同式子或常数来表示对应法则，则把这种函数叫做分段函数.（2）分段函数是一个函数，而不是几个函数。为更好地理解分段函数，常采用作出函数图象的方法，以增强其直观性.(3)求分段函数的函数值时，首先要确定自变量所在范围，再根据范围决定使用哪一段函数表达式计算函数值.3．拓展练习:例1已知，（1）分别求f(-2),f(2),f[f(-1)]的值；（2）画出函数f(x)的图象.1,1()0,11,1xxfxxxx答案：（1）f(-2)=-2+1=-1，f(2)=2-1=1,f[f(-1)]=1.（2）例2某地出租车计价标准如下：行驶路程在3km（含3km）收费9元，以后每行驶1km增加收费1.6元；若行驶总路程超过10km，则超过路程以每千米2.4元.（1）列出旅客乘坐出租车行驶路程与应交付的大车费之间的函数关系；（2）如果小明只有20元钱，他最多可以乘坐多少千米？答案：（1）假设出租车行驶路程为x（km），应交付的打车费用为y（元）.由于出租车行驶路程不同时，车费单价不同，所以需要分段考虑.按照收费标准，我们可以得到下面的结论：①当0＜x≤3时，y=9②当3＜x≤10时，y=9+1.6(x-3)=1.6x+4.2③当x＞10时，y=9+1.6(10-3)+2.4(x-10)=2.4x-3.8所以该函数关系可以统一为：（2）如果小明身边只有20元钱，那么他在支付9元的起步价费用以后，还剩下11元，而11÷1.6=6.875，所以他只能再坐约6.8km，即总共可以乘坐9.8km.108.34.21032.46.1309＞＜＜xxxxxy4．当堂训练（1）某水果批发店，100kg内单价1元/kg；500kg内，100kg以上0.8元/kg；500kg及以上0.6元/kg；试写出批发xkg应付的钱数y（元）的函数的解析式.(2)10kg以下按零售价格50元/kg销售；若一次性购买量满10kg可打9折；若一次性购买量满20kg，可按40元/kg的更优惠价格供货.①试写出支付金额y（元）与购买量x（kg）之间的函数关系式.②分别写出购买15kg和25kg应付的金额.(0100)0.8(100500)0.6(500)xxyxxxx答案：答案：①50(10)45(1020)40(20)xxyxxxx②675元，1000元第三学时（一）学法指导（1）自主或小组合作预习教材P61-62的内容；（2）从实例出发，体验用函数描述实际问题的价值，树立用数学的意识；（3）在学习方式上，要先独立尝试后在进行研究，这样有利于应用数学的意识和阅读理解能力、建模能力、解决实际问题能力的培养.（二）课堂探究1．探究问题【探究】在商品销售中，销售总金额、单价和销售量满足的关系式___________________.例如一种商品共20件，采用网上集体议价的方式销售，规则是这样的：商品的单价随着定价量的增加而不断下降，直至底价，每件商品的价格x（元）与定购量n（件）的关系是x=100+50n.比方说，在规定时间内只定购一件（n=1），单价就是150元，而20件商品都被定购的话（n=20），单价就只有102.5元.(1)你能写出该商品的销售总金额y(元)与销售件数n(件)的函数关系吗？(2)购买12件时的销售总金额是多少呢？答案：（1）（2）1250销售总金额=单价×销售量Nnnny,200(50100＜2．知识链接：商品的销售总金额y是随着销售件数n的变化而变化的，在商品销售中，有n个基本的量，它们之间的关系是销售总金额=单价×销售量.例如，某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元.则:总成本与总产量的函数关系为：C=200+0.3x，x∈N+；单位成本与总产量的函数关系为：P=200/x+0.3，x∈N+；销售收入与总产量的函数关系为：R=0.5x，x∈N+；利润与总产量的函数关系为：L=R-C=0.2x-200，x∈N+.3.拓展练习：例1一家宾馆有客房200间，每间客房的租金为120元/天，近期每天都客满.鉴于市场需求较旺，宾馆欲提高租金.据分析，每间客房每天的租金每提高10元，客房出租数将减少8间.不考虑其他因素，宾馆将每间房每天的租金至少提高到多少，每天的总租金最高？求此时每天的总租金.答案：设租金提高x个10元，则客房出租数减少8x间.以y（元）表示一天的总租金，则：y=(120+10x)(200-8x)=-80x2+1040x+24000当时，y取到最大值.但根据x的实际含义，只能在x取6或7，即宾馆将每间客房每天的租金至少提高到120+6×10=180元时，y取到最大值27360.)4169300(80)213(802x213x*例2某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解