材料力学应力分析

材料力学应力状态应力状态分析材料力学应力状态§1概述材料力学应力状态•单元体dxdydz,,0一点应力状态的描述§1概述①dx、dy、dz（微小的正六面体）②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方位截面上的应力。过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。材料力学应力状态§1概述BCDB、C——单向受力，τ＝0A——纯剪切，σ＝0D——既有σ，又有τPABCD材料力学应力状态FF示例一横截面111AF§1概述材料力学应力状态示例二：Fl/2l/2横截面5432154321横截面§1概述材料力学应力状态54321543211横截面2F4FlMzzzxWM122x2233§1概述材料力学应力状态三向（空间）应力状态xzyzxyzxxzxyyxyzzy§1概述材料力学应力状态主应力：主平面上的正应力主平面：单元体上切应力为零的平面通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以σ1，σ2和σ3表示，且123§1概述材料力学应力状态主单元体312§1概述材料力学应力状态三个主应力σ1，σ2和σ3全部不为零的应力状态称为三向（空间）应力状态。§1概述定义：三个主应力σ1，σ2和σ3中两个不为零的应力状态称为二向（平面）应力状态。三个主应力σ1，σ2和σ3中一个不为零的应力状态称为单向应力状态。材料力学应力状态xyxy单向应力状态纯剪应力状态xyxxy§1概述材料力学应力状态§2平面应力状态分析材料力学应力状态解析法材料力学应力状态方向角与应力分量的正负号约定单元体的局部平衡平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力§2平面应力状态分析材料力学应力状态xxxx拉为正压为负1、正应力正负号约定§2平面应力状态分析材料力学应力状态使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。yxxy切应力正负号约定§2平面应力状态分析材料力学应力状态由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。ntyx角正负号约定§2平面应力状态分析材料力学应力状态efa•平衡对象——用ef斜截面截取的单元体局部2、利用截面法及单元体局部的平衡方程dAntdA·cosdA·sinxyxyyxxyefyyxxxy§2平面应力状态分析a材料力学应力状态参加平衡的量——应力乘以其作用的面积平衡方程——0nF0tF及efadAntdA·cosdA·sinyxyxyxntyxyxyx§2平面应力状态分析材料力学应力状态-cos)cos(dAx-ydA(sin)sin0dA+dA(cos)sinxy+dA(sin)cosyx0nFefadAntdA·cosdA·sinyxyxyxyxyxyxnt§2平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx--++材料力学应力状态-dA+xdA(cos)sin+xydA(cos)cos-ydA(sin)cos-yxdA(sin)sin00tFefadAntdA·cosdA·sinxyyxyxyxyxyxnt§2平面应力状态分析2cos2sin2xyyx+-材料力学应力状态解得：2sin2cos22xyyxyx--++2cos2sin2xyyx+-用斜截面截取，此截面上的应力为2+2sin2cos22xyyxyx+--+2cos2sin2xyyx---§2平面应力状态分析材料力学应力状态xyyxxy因此-yx++即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。即又一次证明了切应力的互等定理。§2平面应力状态分析材料力学应力状态切应力xy＝0的方向面，称为主平面，其方向角用0表示。３、平面应力状态的极值与主应力§2平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx--++2cos2sin2xyyx+-0＝2cos2sin2xyyx+-yxxy--22tan0材料力学应力状态将上式对求一次导数，并令其等于零，有由此解出的角度角度与0具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。§2平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx--++02cos22sin）（--xyyxyxxy--22tan00材料力学应力状态平面应力状态的三个主应力§2平面应力状态分析2sin2cos22xyyxyx--++yxxy--22tan0020+xyyxyx22)2(2+-++＝xyyxyx22)2(2+--+＝0＝xyyxyx22)2(2+-++＝xyyxyx22)2(2+--+＝材料力学应力状态以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用表示，即§2平面应力状态分析0＝xyyxyx22)2(2+-++＝xyyxyx22)2(2+--+＝321，，321材料力学应力状态由此得出另一特征角，用1表示对求一次导数，并令其等于零，得到与正应力相类似，不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将面内最大切应力§2平面应力状态分析2cos2sin2xyyx+-0＝2sin22cos）（xyyx--xyyx22tan1-材料力学应力状态得到xy的极值需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值。面内最大切应力§2平面应力状态分析xyyx22tan1-2cos2sin2xyyx+-22421xyyx+-＝材料力学应力状态为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。考察单元体三对面上分别作用着三个主应力（σ1σ2σ30）的应力状态。过一点所有方向面中的最大切应力§2平面应力状态分析材料力学应力状态考察单元体三对面上分别作用着三个主应力（σ1σ2σ30）的应力状态。过一点所有方向面中的最大切应力§2平面应力状态分析材料力学应力状态σx=σ3,σy=σ2，τxy＝022421xyyx+-＝这就是Ⅰ组方向面内的最大切应力。232－＝在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和切应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：§2平面应力状态分析材料力学应力状态在平行于主应力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正应力和切应力都与σ2无关。因此，当研究平行于σ2的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：σx=σ1,σy=σ3，τxy＝0。22421xyyx+-＝132－＝这就是Ⅱ组方向面内的最大切应力。§2平面应力状态分析材料力学应力状态σx=σ1,σy=σ2，τxy＝0。22421xyyx+-＝122－＝在平行于主应力σ3方向的任意方向面Ⅲ上，正应力和切应力都与σ3无关。因此，当研究平行于σ3的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：这就是Ⅲ组方向面内的最大切应力。§2平面应力状态分析材料力学应力状态一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中最大的，即122－＝132－＝232－＝13max2－＝过一点所有方向面中的最大剪应力§2平面应力状态分析材料力学应力状态图解法材料力学应力状态1、应力圆方程2sin2cos2)2(xyyxyx--+-2cos2sin2xyyx+-2sin2cos22xyyxyx--++2cos2sin2xyyx+-(1)(2)§2平面应力状态分析材料力学应力状态22222)2()2(+-++-xyyxyxRcxyyx22)2(+-2yx+应力圆应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力a),(aa§2平面应力状态分析材料力学应力状态在-坐标系中，标定与单元体A、D面上应力对应的点a和d连ad交轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。yADa(x,xy)d(y,yx)cRxy+22.应力圆的画法xyyx22)2(+-§2平面应力状态分析yxxyx材料力学应力状态OCa(x,xy)yyxByyxBd(y,yx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径xyAyyxDxxxyAxxyAyyxByyxD§2平面应力状态分析材料力学0CD1(x,xy)D2(y,yx)x2nE(,F20+++++-2cos2sin22cos)2cos(2sin)2cos()22sin()]22(180sin[0000xyyxoRRRREF--++-++++++--+-2sin2cos22)2sin2sin2cos2(cos2)22cos(2)]22(180cos[20000xyyxyxyxyxoyxRRRFCOCOF§2平面应力状态分析应力状态3、几种对应关系材料力学应力状态点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向上的正应力和切应力yyxxyxckK),(aa§2平面应力状态分析材料力学应力状态yx转向对应——应力圆上的半径旋转方向与单元体上方向面法线旋转方向一致；ntCaAk2二倍角对应——应力圆上的半径转过的圆心角是单元体上方向面旋转角度的两倍。x,xy)DEo2p§2平面应力状态分析材料力学应力状态4、应力圆的应用——信息源思维分析的工具，而不是计算工具。§2平面应力状态分析点面对应，转向相同，夹角两倍。材料力学应力状态xyxyyxAD主应力的确定oc2pad1A1B1oA10cAc+2yx+xyyx22)2(+-+1oB10cBc-2yx+xyyx22)2(+--§2平面应力状态分析材料力学应力状态主应力排序：123oc2pad12o13o23§2平面应力状态分析材料力学应力状态yxxyxyADoc2pad1211p22(x,xy)主方向的确定22yxxxyptg+--负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向g§2平面应力状态分析材料力学应力状态主应力与主方向的对应关系小（主应力中小的）偏小（σx和σy中小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和σy中大的），夹角不比450大。假设σxσy，则σmax与σx的夹角小于450。§2平面应力状态分析材料力学应力状态xxADodacx'yy'45ºx2×45º2×45º