2013年高考数学(理科)一轮复习课件第56讲：点、直线、平面之间的位置关系

考纲要求考纲研读1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．寻找公理成立的条件是正确使用公理的依据.公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．1．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表公理2的三条推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线_______．平行等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_________________．相等或互补公理1公理2公理3符号语言A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α.A，B，C不共线⇒A，B，C确定平面α.P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，P∈l.2．空间线、面之间的位置关系平行相交异面无数个只有一个没有没有重合且有一条公共直线3．异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的_____________，叫做异面直线a与b所成的角，其范围是(0°，90°]．锐角或直角1．互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分()A．4B．5C．7D．8D2．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()AA．充分非必要条件C．充要条件B．必要非充分条件D．非充分非必要条件3．(2010年全国)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.C4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()CA．3B．4C．5D．6)D5．A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则(A．P⊂αB．P∉αC．l⊄αD．P∈α考点1平面的基本性质例1：如图13－3－1，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ，CB的延长线交于M，RQ，DB的延长线交于N，RP，DC的延长线交于K.求证：M，N，K三点共线．图13－3－1PQ∩CB＝M，证明：RQ∩DB＝N，RP∩DC＝K⇒M，N，K∈平面BCD，M，N，K∈平面PQR⇒M，N，K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M，N，K三点共线．要证明M，N，K三点共线，由公理3可知，只要证明M，N，K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．证明多点共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．【互动探究】1．下列推断中，错误的个数是()A①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A，B，C∈α，A，B,C∈β,且A，B，C不共线⇒α、β重合；③l⊄α，A∈l⇒A∉α.A．1个C．3个B．2个D．0个2．E，F，G，H是三棱锥A－BCD棱AB，AD，CD，CB上的点，延长EF，HG交于P，则点P()BA．一定在直线AC上C．只在平面BCD内B．一定在直线BD上D．只在平面ABD内考点2空间两直线的位置关系例2：如图13－3－2，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论不成立的是()A．EF与BB1垂直C．EF与CD异面B．EF与BD垂直D．EF与A1C1异面解析：连接A1B，则A1B经过点E，且E为A1B的中点，又F是BC1中点，∴EF∥A1C1.故D不成立．D图13－3－2【互动探究】3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()D解析：在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，S，Q，R共面．在B图中，P，S，R，Q均在截面PSRQ上，∴P，S，R，Q共面．在C图中分别连接PQ，RS，也易证PQ∥RS.∴P，Q，R，S共面；故选D.4．(2011年四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()BA．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1，l2，l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1，l2，l3相交于同一个点时不一定共面．所以选B.考点3异面直线所成的角例3：(2011年上海)如图13－3－3已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2.求：(1)异面直线BD与AB1所成的角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积．图13－3－3解析：(1)如图13－3－3,连接DC1，BC1，易知DC1∥AB1，∴∠BDC1是异面直线BD与AB1所成的角．在∠BDC1中，DC1＝BC1＝5，BD＝2，∴cos∠BDC＝225＝1010.(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V＝1111ABCDABCDV－－4×111CBCDV－＝2－4×13＝23.求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题．【互动探究】5．正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，异面直线B′M与CN所成的角是()A．0°B．45°C．60°D．90°D考点4立体几何中的探究问题例4：在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，13－3－4，其中P点不在对角线B1D1上)．应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，图13－3－4使m与直线BD成α角，其中α∈0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解析：(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.(2)在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成α角，∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角．即直线m为所求作的直线．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈0，π2.当x＝π2时，这样的直线m有且只有一条．当α≠π2时，这样的直线m有两条．【互动探究】6．(2010年江西)如图13－3－5过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()D图13－3－5A．1条B．2条C．3条D．4条解析：考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、化归转化的能力．第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条对角线AC1；第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．1．反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据．公理1判断直线在平面内的依据；公理2的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理3是证明三(多)点共线或三线共点的依据．2．理解空间中直线与直线的位置关系，掌握异面直线的两种判断方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．(2)客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定成立．例如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”，“同时垂直于一条直线的两条直线平行”等性质在空间都不成立．2．正确理解异面直线的定义，是“不同在任何一个平面内的两条直线”，而不能理解成“不在同一个平面内的两条直线”．3．直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作：l⊄α，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形．