高三一轮总复习理科数学新课标第8章-第6节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第六节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．距离之差的绝对值2a＜|F1F2|2a＝|F1F2|2a＞|F1F2|菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)范围对称性对称轴：对称中心：顶点A1，A2A1，A2渐近线性质离心率e＝ca，e∈，其中c＝a，b，c间的关系c2＝(c＞a＞0，c＞b＞0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)(0，a)y＝±abx(1，＋∞)a2＋b2a2＋b2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率为y＝±xe＝2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越大()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】(1)表示双曲线的一支，(1)不正确．(2)中，e越大，则ba越大，从而双曲线“张口”越大，(2)正确．(3)中，当m0，n0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，(3)错．易知(4)正确．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1【解析】渐近线方程可化为y＝±32x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴9a2＝±322，解得a＝±2.由题意知a＞0，∴a＝2.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由e＝52，得ca＝52，∴c＝52a，b＝c2－a2＝12a.又x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，∴所求渐近线方程为y＝±12x.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为．【解析】设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x0)，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝3－1，x＋2＝3＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝23.【答案】23菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为．【解析】依题意c－a＝1，①又e＝ca＝2，即c＝2a，②由①②联立，得a＝1，c＝2.∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C为x2－y23＝1.【答案】x2－y23＝1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1双曲线的定义及应用【例1】(2014·西安质检)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.45【思路点拨】由双曲线定义，结合|PF1|＝2|PF2|，求△PF1F2的边长，根据余弦定理可求cos∠F1PF2的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34，选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键．(2)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为．【解析】由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5.∴|PQ|＝2·(2b)＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，∵PQ过右焦点A，∴P，Q在双曲线的右支上，根据双曲线定义，|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，∴|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，于是|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝16＋4×3＝28.故△PQF的周长为28＋|PQ|＝28＋16＝44.【答案】44菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2双曲线的标准方程【例2】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的标准方程．【思路点拨】根据椭圆的焦点、离心率，建立关于a，b的方程．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】由x216＋y29＝1，知c＝16－9＝7，∴焦点F1(－7，0)，F2(7，0)，且离心率e′＝74.又双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点．∴a2＋b2＝(7)2＝7，∵双曲线的离心率e＝ca＝7a，∴7a＝274，则a＝2.从而b2＝c2－a2＝7－22＝3.故所求的双曲线的方程为x24－y23＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．2．(1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．(2)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2014·天津调研)已知双曲线C的右焦点为(5，0)，且双曲线C与双曲线C′：x24－y216＝1有相同的渐近线，求双曲线C的标准方程．【解】∵双曲线C与双曲线x24－y216＝1有相同的渐近线，∴设双曲线C的方程为x24－y216＝λ(λ≠0)．则双曲线C：x24λ－y216λ＝1，又双曲线C的右焦点为(5，0)，∴c＝5，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝14.故所求双曲线C的方程为x2－y24＝1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3双曲线的简单几何性质【例3】抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝.【思路点拨】注意到△ABF为等边三角形和双曲线的对称性，用p表示点A(或B)的坐标，代入双曲线方程，求p的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】由x2＝2py(y0)，得焦点F0，p2，准线l为y＝－p2，又△ABF为等边三角形，且A，B关于y轴对称，不妨设点B(x0，y0)在第四象限，则y0＝－p2，x0＝p·tanπ6＝33p，又点B在双曲线x23－y23＝1上，∴p29－p212＝1，解得p＝6.【答案】6菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.本题充分注意到双曲线与△ABF的对称性，数形结合，巧求点B的坐标，优化了解题过程．2．双曲线中c2＝a2＋b2，双曲线渐近线的斜率与离心率的关系ba＝e2－1(e＝ca)．抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵在双曲线中ca，∴在△PF1F2中|PF2|所对的角最小且为30°.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－83ac，即3a2＋c2－23ac＝0.∴(3a－c)2＝0，∴c＝3a，即ca＝3.∴e＝3.【答案】3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率