高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

1高等数学第四册（第三版）数学物理方法答案（完整版）第一章复数与复变函数（1111）1.1.1.1.计算(1).(2)(12)222;iiiiii−−−=−−−=−()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655iiiiiiiiiiii+−++−−+++=+=−=−−−+−+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102iiiiiii===−−−−−−4222(4).(1)[(1)](2)4;iii−=−=−=−1122222222(5).()[()]ababiabiabiabab+=+=++++11222224[(cossin)]()(cossin);22abiabiθθθθ=++=++3.3.3.3.设11,2iz+=23;zi=−试用三角形式表示12zz及12zz。解：121cossin;(cossin);44266ziziππππ=+=+121155[cos()sin()](cossin);2464621212zziiππππππ=+++=+122[cos()sin()]2(cossin);46461212ziizππππππ=−+−=+11.11.11.11.设123,,zzz三点适合条件1230zzz++=及1231;zzz===试证明123,,zzz是一个内接于单位圆z=1的正三角形的顶点。2证明：1230;zz++=z123231;312;;zzzzzzzzz∴=−−=−−=−−122331;zzzzzz∴−=−=−123,,zzz∴所组成的三角形为正三角形。1231zzz===∵123,,zzz∴为以z为圆心，1为半径的圆上的三点。即123z,z,z是内接于单位圆的正三角形。.xz1z2z317.17.17.17.证明：三角形内角和等于π。证明：有复数的性质得：321321311223arg;arg;arg;zzzzzzzzzzzzαβγ−−−===−−−1332213112231;zzzzzzzzzzzz−−−••=−−−−∵arg(1)2;kαβγπ∴++=−+(0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈∵(0,3);αββπ∴++∈0;k∴=;αβγπ∴++=Z3yoZ1Z2x3第一章复数与复变函数（2222）7.7.7.7.试解方程()4400zaa+=。解::::由题意44za=−,所以有()410zaa⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠;4cossinizieaπππ⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠;所以24(0,1,2,3)kizekaθπ+==;41izaeπ=;342izaeπ=;543izaeπ=;744izaeπ=.12121212．下列关系表示的zzzz点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？1212(1).()zzzzzz−=−≠解：此图形表示一条直线，它不是区域。(2).4;zz≤−解：2222(4)xyxy+≤−+即816;2;xx≤≤此图形为≤x2的区域。1(3).1;1zz−+解：222211(1)(1);zzxyxy−+−+++；22;0;xxx−此图形为x0的区域。4(4).0arg(1)2Re()3;4zzπ−≤≤且解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]4π的部分。(5).1Im0;zz≥且解：1z≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。12(6).Im;yzy≤解：它表示虚部大于1y小于等于2y的一个带形区域。(7).231;zz−且解：此图形表示两圆的外部。131(8).;2222iizz−−且解：211()22y+−2x，2231()22xy+−，它表示两相切圆半径为12的外部区域。(9).Im12;zz且解：此图形表示半径为2的圆的内部，5且Im1z的部分，它是区域。(10).20arg;4zzπ且）解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,的部分，它是区域。第二章解析函数（1111）4.若函数()fz在区域D上解析，并满足下列的条件，证明()fz必为常数.()()0fzzD′=∈证明：因为()fz在区域上解析，所以,uvuvxyyx∂∂∂∂==−∂∂∂∂。令()()(),,fzuxyivxy=+，即()0uvfzixy∂∂′=+=∂∂。由复数相等的定义得：0uvxy∂∂==∂∂，0uvyx∂∂=−=∂∂。所以，()1,uxyC=(常数)，()2,vxyC=(常数)，即()12fzCiC=+为常数。5.证明函数在z平面上解析，并求出其导数。（1）(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy−++6证明：设()()(),,fzuxyivxy=+=(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy−++则(),(cossin)xuxyexyyy=−，(),(cossin)xvxyeyyxy=+(cossin)cosxxuexyyyeyx∂=−+∂；cossincosxxxveyyyexyey∂=−+∂(sinsincos)xuexyyyyy∂=−++∂；(cossinsin)xveyyxyyx∂=++∂满足;uvuvxyyx∂∂∂∂==−∂∂∂∂。即函数在z平面上(),xy可微且满足CR−条件，故函数在z平面上解析。()(cossincos)(cossinsin)xxuvfziexyyyyieyyxyyxx∂∂′=+=−++++∂∂8．由已知条件求解析函数()fzuiv=+，22uxyxy=−+，()1fii=−+。解：2,2xyuxyuyx=+=−+，2,2xxyyuu==−。所以0xxyyuu+=即u是平面上调和函数。由于函数解析，根据CR−条件得2xyuvxy==+，于是，22()2yvxyxψ=++,其中()xψ是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得2'()xvyxψ=+=2yuyx−=−，所以'()xxψ=−，即2()2xxcψ=−+。于是22222yxvxyc=+−+又因为()1fii=−+，所以当0,1xy==，时1u=，112vc=+=得712c=所以()22221(2)222yxfzxyxyixy=−+++−+。第二章解析函数（2222）12.设ω是z的解析函数，证明xyuv∂∂=∂∂，xyvu∂∂=−∂∂(,)uivzxiyω=+=+。证明：ω是z上的解析函数，所以，ω在(),xy上处处可微，即uvxy∂∂=∂∂，uvyx∂∂=−∂∂，所以，uvyvuxxyvyxu∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂iiii，所以xyuv∂∂=∂∂，同理，uvyvuxyyvxxu∂∂∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂iiii，所以，xyvv∂∂=−∂∂即得所证。14.若zxiy=+，试证：（1）sinsincoszxchyixshy=+。证：sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy=+=+=()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi−−+−+=()sincos22yyiiyyeeeexix−−+−+sincosxchyixshy=+18.解方程ln2izπ=。解：lnlnarg02izzizπ=+=+，即1,arg2zzπ==，设zxiy=+221xy+=，()arg2xiyπ+=得0,1xy==，即zi=。820.试求2(1),3,,iiiiiie++及(1)Lni+。解：(2)222,0,1,2,ikikiiLniieeekππππ+−−====±±⋅⋅⋅ln2(2)(1)244(1)(cosln2sinln2)ikiiLnikieeieeππππ−+++===+，0,1,2,k=±±⋅⋅⋅(1)ln(1)2ln22ln2(2)44Lniiikiikikπππππ+=++=++=++0,1,2,k=±±⋅⋅⋅3(ln32)3cosln3sinln3iiLnikeeiπ+===+222(cos1sin1)iieeeei+==+i22，求证0sinlim1zzz→=证::::zxiy=+(x,y,均为实数)，所以,sinsin()limlimzxyzxiyzxiy→∞→∞+=+当0x→则极限趋近于z轴，有sinlim1iyiyiyiyeeiyiyz−→∞−==当0y→时，则极限趋于z轴，有sinlim1xxx→∞=，故sinlim1zzz→∞=。第三章柯西定理柯西积分（1111）1.计算积分120),ixyixdz+−+∫（积分路径是直线段。解：令z=(1+i)dz，dz=(1+i)dt，则：120(1)itidz=+∫∫1+i20(x-y+ix)dz312011(1)(1)033tiitdti−=−=−=∫。2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。9解：1(11)zittdzidtzt=−≤≤==（）令，，，111110()iizdztidtitdtitdti−−−==−+=∫∫∫∫所以(2).cossin()(sincos)122zidzdzππθθθθθθ=+−≤≤=−+=令：，，，则2222sincos022iizididiiππππθθθθ−−−=−+=+=∫∫∫3(3).cossin((sincos)122zidzidzππθθθθθθ=+=−+=令从到），，，223322sincos022iizdidiiππππθθθθ−=−+=+=∫∫∫5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C为单位圆。（1）coscdzz∫，（2）222cdzzz++∫，（3）256zcedzzz++∫，解：（1）因为函数θ1f(z)=cos在单位圆所围的区域内解析，所以0coscdzz=∫。（2）因为函数()fz=21z+2z+2在单位圆内解析，所以0=∫2cdzz+2z+2。（3）Dzz2ee因为函数f(z)==的解析区域包含拉单位围线z+5z+6(z+2)(z+3)0dz=∫z2ce所以由哥西积分定理有z+5z+66.计算1zdzz=∫，1zdzz=∫，1zdzz=∫，1zdzz=∫。10解：1112(1)21zzdzdzifizzππ=====−∫∫（）。2110(2)0iizzdzieddezπθθθ=====∫∫∫。()210cossin(3)0cossinziddzziπθθθθθ=+==+∫∫。210(4)2zdzdzπθπ===∫∫。7.由积分2cdzz+∫之值，证明2012cos054cosdπθθθ+=+∫，其中取单位圆。证明：因为被积函数的奇点2z=−在积分围道1z=外，故02cdzz=+∫，现令izreθ=，则在1z=上cossinizeiθθθ==+，()cossinidziediidθθθθθ==+，2cdzz=+∫()20cossin2cossiniidiπθθθθθ+++∫()()()()cossin2cossin2cossin2cossiniidiiπθθθθθθθθθ++−+++−∫20-=()202sin2cos154cosidπθθθθ−++=+∫，比较可得：202sin054cosdπθθθ=+∫，202cos1054cosdπθθθ+=+∫。第三章柯西定理柯西积分（2222）8.计算：11（1）()221:21czzdzCzz−+=−∫，。解：222122112(2)111ccczzzzzzdzdzzdzzzz−+−++−+==+−−−∫∫∫11(21)(2)11cccczdzzdzdzdzzz=++=++−−∫∫∫∫002(1)2ifiππ=++=。10.设C表圆周23y+=2x，()2371cfzdzζζζζ++=−∫，求()f′1+i。解：设()2371ζζζ=++g，它在复平面内解析，故当zC∈时，则由哥西积分公式有()()()2237122371ccgfddzigzizzZzζζζζππζζ++⎡⎤====++⎣⎦−−∫∫z，所以()()21123712671226zizifizziziππππ=+=+′′⎡⎤=++=+=−+⎣⎦1+i。11.求积分(),:1,zcedzCzz=∫从而证明：coscos(sin)edπθθθπ=∫0。解