高中数学全程学习方略配套课件：1.1.1正弦定理(人教A版必修5)

点击进入相应模块基础知识是形成学科能力的源头，本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础，要求学生动手填一填吧！【思考】【点拨】核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力，请引导学生进入探究空间吧！正弦定理的基本应用【名师指津】正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题：（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：【特别提醒】判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为锐角，有一解；若ab，则AB，此时，由正弦定理得的值.①sinB1，无解；②sinB=1，一解；③sinB1，两解.bsinAsinBa【例1】已知在△ABC中，B=45°，解这个三角形.【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.a3b2，，【规范解答】由正弦定理及已知条件有得因为ab，所以AB，又∴A=60°或120°，当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，综上可知：A=60°,C=75°,或A=120°，C=15°，32,sinAsin453sinA.23sinA,2bsinC2sin7562csinBsin452；bsinC2sin1562c.sinBsin45262c262c.2判断三角形的形状【名师指津】判断三角形形状的方法已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化边为角的主要工具.【特别提醒】正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且试判断△ABC的形状.【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替是解决本题的关键.abccosAcosBcosC，【规范解答】由正弦定理（R为△ABC外接圆的半径）得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入中，可得所以，tanA=tanB=tanC.又因为A、B、C是△ABC的内角，所以A=B=C，所以△ABC是等边三角形.abc2RsinAsinBsinCabccosAcosBcosC2RsinA2RsinB2RsinCcosAcosBcosC，利用正弦定理证明等式【名师指津】利用正弦定理证明等式应注意：观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也是解三角形过程中经常遇到的.【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.【例】在任意△ABC中，求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边，可考虑把边统一化为角或把角统一化为边.【规范解答】方法一：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinC-sinBsinC)=0=右边,原等式得证.方法二：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.bccaab1a()b()c()(abac2R2R2R2R2R2R2R规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【典例】(12分)在△ABC中，已知c=1，B=45°，求a、A、C.【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的个数.b2，【规范解答】由正弦定理得，…………………………2分由cb，B=45°，可知C45°，∴C=30°…………5分∴A=180°-30°-45°=105°………………………7分再由正弦定理得，……………………10分所以A=105°，C=30°…………………12分21csinB12sinCb22bsinA2sin10562asinBsin45262a2，【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.在△ABC中，a=5，b=3，C=120°，则sinA∶sinB的值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.sinA∶sinB=a∶b=5∶3.533537572.在△ABC中，已知c=10，A=30°，则B=()(A)105°(B)60°(C)15°(D)105°或15°【解析】选D.∵ca,∴CA，∴C=45°或135°，∴B=105°或15°.a52，ac52102,,sinC.sinAsinCsin30sinC23.在△ABC中，若B=2A，则A=_______.【解析】∵故A=30°.答案：30°ab13∶∶，ab13,sinAsinB13∶∶∶∶，3sinAsin2A13,cosA2即∶∶所以，4.在△ABC中，A=30°，C=45°，则边a=______.【解析】在△ABC中，由正弦定理得答案：1c2，ac,sinAsinCcsinA2sin30a1.sinCsin455.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为多少？【解析】根据三角形中“大角对大边”可知，此三角形的最大边为b，由B＝135°，C＝15°，可得A=30°，根据正弦定理所以故此三角形的最大边长为abasinBbsinAsinBsinA，得，5sin135b52.sin3052.