2015届高考数学考点43 直线与圆锥曲线的位置关系

温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点43直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）O为坐标原点，F为抛物线C：xy242的焦点，P为C上一点，若24||PF，则△POF的面积为（）A.2B.22C.32D.4【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选C.设),(11yxP，则24222||11xPxPF，解得231x，因为P为C上一点，则24232424121xy，得62||1y，所以3262221POFS.2.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A.2:5B.1:2C.1:5D.1:3【解题指南】由抛物线的定义把FM转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为12，即1tan2，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得FMMQ，在MQN中|MQ|1|QN|2,可得|MQ|1|MN|5，即|FM|：|MN|=1:5.3.（2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为060的直线11AB和22AB，使1122ABAB，其中1A、1B和2A、2B分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.23(,2]3B.23[,2)3C.23(,)3D.23[,)3【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线11AB和22AB的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线11AB和22AB关于x轴对称,又所成的角为060,所以直线方程为xy33或xy3,又因为有且只有一对相较于点O、所成的角为060的直线11AB和22AB，使1122ABAB，所以渐近线斜率满足333ab,解得2332e.故选A.4.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆:E)0(12222babyax的右焦点)0,3(F，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为)1,1(，则E的方程为（）A.1364522yxB.1273622yxC.1182722yxD.191822yx【解题指南】本题中给出AB的中点坐标，所以在解题时先设出A，B两点坐标，然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆12222byax得，222222bayaxb，因为过F点的直线与椭圆)0(12222babyax交于A，B两点，设),(11yxA，),(22yxB,则1221xx，1221yy则22212212bayaxb①22222222bayaxb②由①-②得0)()(2221222212yyaxxb，化简得0))(())((2121221212yyyyaxxxxb.0)(2)(2212212yyaxxb，222121abxxyy又直线的斜率为0(1)1312k，即2122ab.因为92222acab，所以21922aa，解得182a，92b.故椭圆方程为191822yx.二、解答题5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆2222:11xyEaa+=-的焦点在x轴上（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设12,FF分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线2FP交y轴与点Q，并且11FPFQ^，证明：当a变化时，点p在某定直线上。【解析】(1)因为焦距为1，所以21214a-=，解得25=8a，从而椭圆E的方程为2288153xy+=.（2）设0012(,0),(,0)xycFc-P（,）,F，其中221a-c=，由题设知0xc¹，则直线1PF的斜率100+FPyKxc=，直线2PF的斜率200-FPyKxc=，100+FPyKxc=，故直线2PF的方程为00()yyxcxc=--,当x=0时，00cyycx=-，即点Q坐标为000cycx-（，），因此直线1QF的斜率100FQyKcx=-。由于11FPFQ^，所以110000...1,+FPFQyyKKxccx==--化简得22200(21)yxa=--①将①代入椭圆E的方程，由于点00xyP（,）在第一象限，解得20=xa，20=1-ya，即点P在定直线x+y=1上。6.（2013·天津高考文科·Ｔ18）与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若··8ACDBADCB,求k的值.【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程.(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示··ACDBADCB求解.【解析】(Ⅰ)设(,0)Fc由3,3ca知3,ac过点F且与x轴垂直的直线为,xc代入椭圆方程有2222()1,cyab解得6,3by于是2643,33b解得2,b又222acb，从而3,1ac，所以椭圆方程为221,32xy.(Ⅱ)设1122(,),(,)CxyDxy，由(1,0)F得直线CD的方程为(1),ykx由方程组22(1),1,32ykxxy消去y，整理得2222(23)6360.kxkxk可得22121222636,.2323kkxxxxkk因为(3,0),A(3,0),B所以11222211··(3,)(3,)(3,)(3,)ACDBADCBxyxyxyxy121221212222121222622622(1)(1)6(22)2()2212623xxyyxxkxxkxxkxxkkk由已知得222126823kk，解得2.k7.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:24x+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】（1）线段OB的垂直平分线为12y，因此A、C点的坐标为1(3,)2，于是AC的长为23。（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r（r1)，则A、C为圆222xyr与椭圆22:14xWy的交点。22314xr，22313xr，A所以点与C点的横坐标互为相反数或相等，此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。8.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：22221xyab(ab0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12（1）求M的方程（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立M的方程；（2）将四边形的面积表示出来，可转化为S＝ABh，然后利用函数的知识求最值.【解析】设1122,,,AxyBxy，则2211221xyab①,2222221xyab②,①-②得12121212220xxxxyyyyab.因为12121yyxx，设00,Pxy，因为P为AB的中点，且OP的斜率为12，所以0012yx，即12121+y2yxx，所以可以解得222ab，即2222aac，即222ac，又因为3c，所以26a＝，所以M的方程为22163xy.(2)因为CDAB，直线AB的方程为30xy，所以设直线CD方程为yxm，将30xy代入22163xy得：23430xx，解得430,3xx或不防令0,3A、B433,33，所以可得463AB，将yxm代入22+163xy得：2234260xmxm，设33,Cxy，44,Dxy，则2234342224182,3CDxxxxm又因为221612260mm，即33m，所以当0m时，CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为186.23ABCD9.（2013·辽宁高考文科·Ｔ20）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ20）相同如图，抛物线2212:4,:2(0).CxyCxpyp点00(,)Mxy在抛物线2C上，过M作1C的切线，切点为,AB(为M原点O时，,AB重合于O).当012x时，切线MA的斜率为12。()求p的值；()当M在2C上运动时，求线段AB的中点N的轨迹方程（,AB重合于O，中点为O）.【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。【解析】()设(,)Aab，则1.2MAxakya已知切线MA在抛物线21:4Cxy上的切点为(,)Aab，由导数的几何意义得，11.22MAxakya所以1.a从而211.44ba故点1(1,).4A由点斜式得切线MA的方程：11(1).42yx由于点00(,)Mxy在抛物线2C上，又在切线MA上，所以得0020011(1),422.yxxpy将012x代入上述方程组，即得2p故p的值为2.()设112212(,),(,),(,),NxyAxyBxyxx又点1122(,),(,)AxyBxy在抛物线21:4Cxy上，则22112211,44yxyx，由于N为线段AB的中点，所以22121212,.228xxyyxxxy①切线,MAMB的方程分别为：2111(),42xxyxx②2222()42xxyxx③由②③得切线,MAMB得交点00(,)Mxy的坐标121200,24xxxxxy④又由于点00(,)Mxy在抛物线2C上，所以2004xy⑤由④⑤得2212126xxxx⑥由①得222121212242xxxxxxxx，22128xxy⑦将⑥代入得22222121212242()3xxxxxxx⑧由⑦⑧得24,03xyx.当12xx时，,AB重合于O，中点N为O,其坐标满足方程243xy综上可知，线段AB的中点N的轨迹方程为243xy.10.（2013·湖南高考文科·Ｔ20）已知1F，2F分别是椭圆15:22yxE的左、右焦点，1F，2F关于直线02yx的对称点是圆C的一条直径的两个端点。（Ⅰ）求圆C的方程；(Ⅱ)设过点2F的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。【解题指南】第（Ⅰ）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线02yx的对称点，否则会增加许多计算量。第