3.1.3空间向量的数量积运算(高中数学人教版选修2-1)

3.1.3空间向量的数量积运算,,,,,,,,已知两个非零向量在空间任取一点作则叫做向量的夹角记作abOOAaOBbAOBababOABaabb(1)向量的夹角：0,ab1.向量的夹角(2),,＝abba(3),2如果，则称与垂直，记作ababab2.平面向量数量积的定义OABabab向量的夹角：0,cos,cosabababababab已知两个非零向量与我们把数量叫做与，记作即数量积的abB类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?B1如图11AB是b在a方向上的射影向量.AA13.空间向量数量积的定义已知空间两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即,abcos,abababcos,ababab0,ab注意:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,ab3.空间向量数量积的定义coscosabababababababab已知空间两个非零向量，，则，叫做，的，记作，即积，数量2cos0aaaaaaaababab①两个向量的数量积是，而不是向量。②零向量与任意向量的数量积等于零。③，④，数量为非零向量平面向量数量积的运算律：(1)()()(2)()(3)()()交换律分配律abababbaabcabac思考：(1)abacbc由，能得到吗？(2)对于向量，成立吗？)()（abcabc,,abc空间向量数量积的运算律：(1)()()(2)()(3)()()交换律分配律abababbaabcabac三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角．(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；cos,ababab0;abab2aaa2aa，也就是说(,)ab是非零向量法一:发现22222()ababab代入求得.1.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.1法二:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1法三:数形结合法,发现形的特殊性.111111=2ABCABCABBBABCB如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）(A)60(B)90(C)105(D)75D'C'B'DABCA'解：ACABADAA||85AC22||()ACABADAA222||||||2()ABADAAABADABAAADAA2224352(0107.5)85ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAAC例3.如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解：由，可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab22CDabbabCABD'D1.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabc已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：ABCDaEFG、、ABADDC、、(1)(2)(3)ABACADDBGFAC；　　；　　；(4)(5)(6).EFBCFGBAGEGF；　　；　　GFEABCD课堂练习：P98第四题作业：课本P983，5生，容易；活，容易；就是生活，不容易。再烦：也别忘记微笑，.再急：也要注意语气.再苦：也别忘坚持，.再困，也别扒下；再累：也要爱自己，再难，也要学下去。4.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解：∵CDBDBC，∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD易错写成,30ABBD，注意推敲！例1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！适当取向量尝试看看！a三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.证明：如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA()0aPAaPOOAaPOaOA,aPAl即PA.为POAla0,0aPOaOA三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lPA，求证：lOA分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmngmgml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理.lmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)xy例2:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.lll空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；cos,ababab0;abab2aaa2aa，也就是说(,)ab是非零向量