能量原理及其变分法

第四章能量原理及其变分法变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相关的，是有限元法的基础。单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。弹性体在单向应力状态下，单位体积的应变能为，其中是受力方向的正应力，是该方向的线应变。对于平面应力状态下单位体积的应变能，根据能量守恒定律，应变能的大小与加力次序无关，只取决于应力和应变的最终值，所以§4-1应变能的概念及其表达式12012xxyyxyxyU第四章能量原理及其变分法对于空间应力状态的单位体积的应变能可写成012xxyyzzxyxyyzyzzxzxU将广义虎克定律代入上式，得012TUD展开为222222201122xyzxyzxyyzzxUGG其中112E如果用应力表示应变的广义虎克定律，则应变能可写成22222201122xyzxyyzzxxyyzzxUEEG第四章能量原理及其变分法一般情况下，弹性体受力并不均匀，各个应力分量和应变分量一般都是位置坐标的函数，因而应变能一般也是位置坐标的函数。为了得出整个弹性体的应变能U，必须把比能U0在整个弹性体内进行积分，即0UUdxdydz第四章能量原理及其变分法§4-2虚功原理虚位移是结构所允许的任意的微小的假想位移，在发生虚位移过程中真实力所作的功，称为虚功。“如果变形体处于平衡状态，则给以任意微小虚位移，外力所作的总虚功必等于变形体所‘接受’的总虚变形功——变形体的虚功原理为了简化变形体虚功原理的证明，以平面应力问题为例来说明。假设单位厚度的变形体在给定的外力（体积力X、Y和表面力）和给定的约束条件下处于平衡状态，用x、y和xy表示应力分量。这些应力分量满足下列平衡条件：,XY第四章能量原理及其变分法在整个变形体内，各微元体满足00xyxyxyXxyYxy在变形体边界处，各微元体满足00xxyxyylmXlmY其中，l、m表示边界处的外法线的方向余弦。给变形体以微小虚位移u、v，各微元体将有虚应变,,xyxyuvvuxyxyxyodsdydx2xyxydyy2xxdxx2yydyy2xyxydxxXYdxdyyxyydyyxxdxxyxxyyxyxdyyxyxydxxX__Y__第四章能量原理及其变分法首先，分析变形体内部的微元体由正应力x所作的虚功。111xxxxxxxxudxudxudVxxuudVudVxxx11dVdxdy其中为微元体的体积。同样，xy所作的虚功为1xyxyuudVyy体积力所作的虚功为1.1XdxdyuXudV同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体内微元体上所有力所作的虚功之和为111xyxyyxxxxyxyyydWXuYvdVdVxyxy第四章能量原理及其变分法其次，分析边界处的微元体，以ds表示斜边的长度，则直角边的面积分别为.1.1,.1.1dyldsdxmds微元体的体积为2111.1222dVdxdyldsdxmdsdy设斜边中点处的虚位移为u、v，应力分量为x、y和xy，直角边dy上正应力x所作的虚功为111.1222xxxxxxudxldsudxuudxldsxxx直角边dx上剪应力xy所作的虚功为111.1222xyxyxyxyxyuudymdsudyuudymdsyyyy斜边上表面力所作的虚功为XuYvds第四章能量原理及其变分法体积力所作的虚功为2XuYvdV同样地求出其它力所作的虚功，叠加，则得到变形体边界处微元体上所有力所作的虚功之和为22xyxyyxdWXuYvdVxyxy2xxyxyyxxyyxyxyXlmuYlmvdsdV变形体的总虚功为W总xyxyyxVXuYvdVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmvdsdV第四章能量原理及其变分法由于已经假设变形体在外力与约束条件下处于平衡状态，所以总虚功xxyyxyxyVdV所有微元体上的力所作的总虚功，可以写成其中SVXuYvdsXuYvdV总虚功表达式写成最后，得出SVXuYvdsXuYvdVxxyyxyxyVdVW总W总=W外+W面W外W面＝0SVXuYvdsXuYvdVW总＝W外第四章能量原理及其变分法变形体在给定外力作用下，给以虚位移，如果外力所作的总虚功等于变形体所“接受”的总虚变形功，则变形体各处都处于平衡状态。与是恒等的。前提条件是xyxyyxVXuYvdVxyxyxxyxyySxxyyxyxyVXlmuYlmvdsdVW总SVXuYvdsXuYvdVW总＝W面SVXuYvdsXuYvdVxxyyxyxyVdV第四章能量原理及其变分法所以xyxyyxVXuYvdVxyxy0xxyxyySXlmuYlmvds因为虚位移u、v是任意的，所以上式为零的条件必是使上式中0,0xyxyyxXYxyxy成立，同时0,0xxyxyylmXlmY成立。第四章能量原理及其变分法虚功原理（实际是虚位移原理）与平衡条件和力的边界条件是等价的，是以功的形式表达变形体的平衡条件。对于空间应力状态，可以进行同样的推导，得到变形体在空间应力状态下的虚功方程式AVxxyyzzxyxyyzyzzxzxVXuYvZwdAXuYvZwdVdV第四章能量原理及其变分法§4-3最小势能原理按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变能的变分δU，应等于外力的总虚功δW，即UWSVWXuYvZwdsXuYvZwdV0SVUXuYvZwdsXuYvZwdV其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移上所做的功，即则由于虚位移是微小的，可以把上式中的变分符号提到积分号前面，得到[]0SVUXuYvZwdsXuYvZwdV第四章能量原理及其变分法其中，外力在实际位移上所做的功SVWXuYvZwdsXuYvZwdVPUW]SVUXuYvZwdsXuYvZwdV取其负号，定义为外力势能（以外力为零的自然状态的势能为零），将弹性体的应变能和外力势能之和，定义为系统的总势能，记为0P2220PUW于是进一步证明可知，对于稳定平衡状态，总势能为极小值。第四章能量原理及其变分法于是得出最小势能原理：在所有可能的位移中，真实位移使总势能取最小值。最小势能原理是弹性力学的一个变分原理，又因弹性力学变分原理的泛函是表示某种能量，如总势能，所以弹性力学变分原理有时也称为弹性力学能量原理。P最小势能原理是弹性力学平衡微分方程和力的边界条件的变分表达。虚位移原理与最小势能原理在本质上是相同的。