定积分的换元积分法与分部积分法

一、定积分的换元积分法第三章函数的积分学第七节定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法定理若函数f(x)在区间[a,b]上连续．函数x=j(t)在区间[a,b]上单调且有连续导数j(t)，当t在[a,b](或[b,a])上变化时，x=j(t)的值在[a,b]上变化，且j(a)=a，j(b)=b(或j(a)=b，j(b)=a)则baxxfd)(bajjtttfd)()(baxxfd)(或.d)())((abjjtttf证因为f(x)在区间[a,b]上连续，所以它可积.设F(x)是f(x)的一个原函数，则由牛顿-莱布尼茨公式得baxxfd)(baxF)().()(aFbF-由不定积分换元法得知，CtFtttf)(d)()(jjj于是bajjtttfd)()(baj)(tF)()(ajbjFF-).()(aFbF-例2计算.1d40xx解用定积分换元法.，令tx则x=t2，dx=2tdt，于是401dxxtttd1220ttd111220-.3ln24|1|ln220--tt，2040tx例3计算.de18ln3lnxx解,e1tx令则x=ln(t2-1)，.1d2d2-tttx于是xtln3ln823xxde18ln3lntttd123222-ttd1112322-3211ln212-ttt.23ln2例4设函数f(x)在对称区间[-a,a]上连续，求证：(2)当f(x)为偶函数时，(3)当f(x)为奇函数时，证(1)根据定积分性质3，-aaxxfd)(.d)(d)(00-aaxxfxxf.0d)(-aaxxf则;d)(2d)(0-aaaxxfxxf则①;d)()(d)(0--aaaxxfxfxxf(1)得对①式右端第一个积分用换元积分法，令x=-t，则dx=-dt，xt-a0a0，于是-0d)(axxf--0)d)((attf-attf0d)(把②式代入①式中，得-0d)(axxf-aaxxfxxf00d)(d)(;d)()(0-axxfxf②.d)(0-axxf(2)因为f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)，得-0d)(axxf-axxfxf0d)()(axxfxf0d)()(；axxf0d)(2(3)因为f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)，得-0d)(axxf-axxfxf0d)()(.0d)()(0-axxfxf例5计算.d1sin334225xxxxx-解易知,1sin)(4225为奇函数xxxxxf因此.0d1sin334225-xxxxx且积分区间对称于原点，例6计算.d4112xx--解因为被积函数,42是偶函数x-且积分区间对称于原点，xxd4112--,d42102xx-令x=2sint，则dx=2costdt，xt0160，于是得xxd4112--xxd42102-ttdcos8602ttd)2cos1(460602sin214tt.332例7证明xxfd)(sin20.d)(cos20xxf证根据三角函数关系，2cossin-xx,2tx-令则dx=-dt，xt020，2于是特别地，当f(sinx)=sinnx时，n为正整数，有.dcosdsin2020xxxxnnxxfd)(sin20--02)d(2sinttfttfd)(cos20.d)(cos2π0xxf设函数u=u(x)，v=v(x)在区间[a,b]上具有连续导数，xxvxud)()(二、定积分的分部积分法,d)()()()(xxuxvxvxu-则xxvxubad)()(,d)()()()(baxxuxvxvxu-即.d)()()()(d)()(xxuxvxvxuxxvxubababa-由不定积分的分部积分法，得即u=u(x)，v=v(x)连续，解根据定积分的分部积分公式得例8计算.dln40xxxxxxdln40xxdln240xxxxxd12)ln2(4141-4144ln4x-).12ln2(4-xxd124ln441-解根据定积分的分部积分公式得例9计算.darctan30xxxxdarctan3030)arctan(xx)arctand(30-xxxxxd13arctan3302-302)1ln(2133x-.2ln334ln2133--解先用换元法，然后再用分部积分法.例10计算.d)(arcsin103xx令arcsinx=t，x=sint，则dx=costdt，xt0120，于是有xxd)(arcsin103.dcos203ttt)sin(d203tt-202203dsin3sinttttt)cosd(382023tt-202023dcos2cos38ttttt-203)sind(68tt--20203dsinsin68tttt.6383-解用定积分的分部积分法.例11计算．为正整数　)(dsin20nxxInnxxInndsin20xxxndsinsin201-)cosd(sin201xxn--xxxnxxnndcossin)1()sin(cos2022201----xxxnndsin)sin1()1(02022---xxnxxnnndsin)1(dsin)1(20202----.)1()1(2nnInIn----把上式看作以In为未知量的方程，解之，得.12--nnInnI即xxnnxxnndsin1dsin20220--称它为递推公式.当n为偶数时，有,21432310InnnnIn---,2ddsin202000xxxI其中代入上式中，得.22143231dsin20---nnnnxxInn当n为奇数时，有.13254231dsin20---nnnnxxInn,1cosdsin20201-xxxI其中代入上式，得,325423211InnnIn---xxndcos20由于所以上述结果对于.dcos20也适用xxn,dsin20xxn解令x=sint，例12计算.d1)1(21022xxx--则dx=costdt，xt0120，于是有xxxd1)1(21022--ttttdcossin1)sin1(22022--2214365dcos206tt.325