导数的计算

学习目标：•1.了解常见函数的导数公式的推导过程。•2．掌握常见函数的导数公式及导数运算法则。•3．熟练的应用导数公式及运算法则解决一些简单的问题。•【本节重点】常见函数的导数公式及导数运算法则．•【本节难点】公式的推导．复习1.导数的定义：2.求函数的导数的步骤:(1)()();yfxxfx求函数的增量()()(2):;yfxxfxxx求平均变化率0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.一、合作探究——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.0()CC为常数0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.请同学们求下列函数的导数:22)(),3)(),14)(),yfxxyfxxyfxx0'1yx221'yxx'2yx公式2:()nx)(1Qnnxn〈1〉基本初等函数的导数公式：11.(),'()0;2.()(),'();nnfxcfxfxxnQfxnx公式若则公式若则3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln18.()ln,'();xxxxafxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxafxxfxx公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若则二、新课讲解：〈2〉导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx结论：1）常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即：2）n个函数和（差）的导数等于n个函数导数的和（差），即：xcfxcf''1212()()()''()'()'()nnfxfxfxfxfxfx•[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝1x＋2x2＋3x3；三、典型例题：解：(1)方法一：y′＝(x+1)′(x-1)+(x+1)(x-1)′=(x-1)+(x+1)=2x方法二：y＝x2-1y′＝(x2-1)′=(x2)′-1′=2x(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝1x＋2x2＋3x3′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－3－9x－4＝－1x2－4x3－9x4.练习：求下列函数的导数：(1)y=x³-2x+3(2)y＝2x－2＋3x－3(3)y＝(2x2＋3)(3x－2)(1)y′=3x²－2(2)y′=4x＋9x²(3)y′=18x²－8x＋9[例2]求函数y＝sin4x4＋cos4x4的导数．[解析]∵y＝sin4x4＋cos4x4＝(sin2x4＋cos2x4)2－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.•[点评]不加分析，盲目套用求导法则，会给运算带来不便，甚至导致错误．在求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，也可少出差错．练习：求函数y＝－sinx2(1－2sin2x4)的导数．y′＝－cosx.211、基本函数的导数公式2、两个函数的和、差、积、商的求导法则总结：